Номер 14, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.14. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

а) $3^x + 3^{3-x} = 12;$

б) $9 - 2^x = 2^{3-x};$

В) $2 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^x - 7 + 5 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x = 0;$

Г) $10^{1+x^2} - 10^{1-x^2} = 99.$

а) Исходное уравнение: $3^x + 3^{3-x} = 12$.
Используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем уравнение:
$3^x + \frac{3^3}{3^x} = 12$
$3^x + \frac{27}{3^x} = 12$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как значение показательной функции всегда положительно, то $t > 0$.
Подставим $t$ в уравнение:
$t + \frac{27}{t} = 12$
Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$):
$t^2 + 27 = 12t$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$t^2 - 12t + 27 = 0$
Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а их произведение равно 27. Легко подобрать корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = 9$.
Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.
Теперь выполним обратную замену:
1. Для $t_1 = 3$:
$3^x = 3$
$3^x = 3^1$
$x_1 = 1$
2. Для $t_2 = 9$:
$3^x = 9$
$3^x = 3^2$
$x_2 = 2$
Ответ: $1; 2$.

б) Исходное уравнение: $9 - 2^x = 2^{3-x}$.
Преобразуем правую часть уравнения: $2^{3-x} = \frac{2^3}{2^x} = \frac{8}{2^x}$.
Уравнение принимает вид:
$9 - 2^x = \frac{8}{2^x}$
Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, при этом $t > 0$.
Подставим $t$ в уравнение:
$9 - t = \frac{8}{t}$
Умножим обе части на $t$:
$t(9 - t) = 8$
$9t - t^2 = 8$
Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
$t^2 - 9t + 8 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 9, а произведение - 8. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 8$.
Оба корня положительны, поэтому подходят.
Выполним обратную замену:
1. Для $t_1 = 1$:
$2^x = 1$
$2^x = 2^0$
$x_1 = 0$
2. Для $t_2 = 8$:
$2^x = 8$
$2^x = 2^3$
$x_2 = 3$
Ответ: $0; 3$.

в) Исходное уравнение: $2 \cdot (\frac{5}{2})^x - 7 + 5 \cdot (\frac{2}{5})^x = 0$.
Заметим, что $(\frac{2}{5})^x = ((\frac{5}{2})^{-1})^x = (\frac{5}{2})^{-x} = \frac{1}{(\frac{5}{2})^x}$.
Перепишем уравнение:
$2 \cdot (\frac{5}{2})^x - 7 + 5 \cdot \frac{1}{(\frac{5}{2})^x} = 0$
Сделаем замену. Пусть $t = (\frac{5}{2})^x$, где $t > 0$.
Получим уравнение с переменной $t$:
$2t - 7 + \frac{5}{t} = 0$
Умножим на $t$:
$2t^2 - 7t + 5 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 = 3^2$.
Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 3}{4}$.
$t_1 = \frac{7+3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$
$t_2 = \frac{7-3}{4} = \frac{4}{4} = 1$
Оба корня положительны.
Выполним обратную замену:
1. Для $t_1 = \frac{5}{2}$:
$(\frac{5}{2})^x = \frac{5}{2}$
$x_1 = 1$
2. Для $t_2 = 1$:
$(\frac{5}{2})^x = 1$
$(\frac{5}{2})^x = (\frac{5}{2})^0$
$x_2 = 0$
Ответ: $0; 1$.

г) Исходное уравнение: $10^{1+x^2} - 10^{1-x^2} = 99$.
Используя свойства степеней, перепишем уравнение:
$10^1 \cdot 10^{x^2} - 10^1 \cdot 10^{-x^2} = 99$
$10 \cdot 10^{x^2} - \frac{10}{10^{x^2}} = 99$
Введем замену. Пусть $t = 10^{x^2}$. Так как $x^2 \geq 0$, то $10^{x^2} \geq 10^0 = 1$. Следовательно, $t \geq 1$.
Уравнение с новой переменной:
$10t - \frac{10}{t} = 99$
Умножим обе части на $t$:
$10t^2 - 10 = 99t$
$10t^2 - 99t - 10 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-99)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-10) = 9801 + 400 = 10201 = 101^2$.
Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{99 \pm 101}{20}$.
$t_1 = \frac{99 + 101}{20} = \frac{200}{20} = 10$
$t_2 = \frac{99 - 101}{20} = \frac{-2}{20} = -0.1$
Проверим корни на соответствие условию $t \geq 1$.
$t_1 = 10$ подходит, так как $10 \geq 1$.
$t_2 = -0.1$ не подходит, так как он меньше 1 (и отрицателен).
Выполним обратную замену для $t=10$:
$10^{x^2} = 10$
$10^{x^2} = 10^1$
$x^2 = 1$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Ответ: $-1; 1$.