Номер 13, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.13. Найдите область определения функции $y = \frac{5}{2 \cdot 3^{2x+3} - 3^{2x+1} - 51}$.

Область определения функции – это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $y = \frac{5}{2 \cdot 3^{2x+3} - 3^{2x+1} - 51}$ представляет собой дробь. Дробь определена, когда ее знаменатель не равен нулю.

Следовательно, мы должны найти значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю. Для этого найдем, когда он равен нулю, и исключим эти значения.

Приравняем знаменатель к нулю:

$2 \cdot 3^{2x+3} - 3^{2x+1} - 51 = 0$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы упростить выражение:

$2 \cdot (3^{2x} \cdot 3^3) - (3^{2x} \cdot 3^1) - 51 = 0$

Вычислим числовые значения степеней: $3^3 = 27$ и $3^1 = 3$. Подставим их в уравнение:

$2 \cdot (3^{2x} \cdot 27) - (3^{2x} \cdot 3) - 51 = 0$

$54 \cdot 3^{2x} - 3 \cdot 3^{2x} - 51 = 0$

Вынесем общий множитель $3^{2x}$ за скобки:

$(54 - 3) \cdot 3^{2x} - 51 = 0$

$51 \cdot 3^{2x} - 51 = 0$

Теперь решим это простое показательное уравнение:

$51 \cdot 3^{2x} = 51$

Разделим обе части уравнения на 51:

$3^{2x} = 1$

Мы знаем, что любое число в степени 0 равно 1, поэтому мы можем представить 1 как $3^0$:

$3^{2x} = 3^0$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2x = 0$

$x = 0$

Таким образом, знаменатель обращается в ноль только при $x=0$. Это значение необходимо исключить из области определения функции.

Следовательно, область определения функции – это все действительные числа, кроме 0.

Ответ: область определения функции $D(y)$ есть объединение интервалов $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.