Номер 4, страница 30 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.4. Воспользуйтесь свойствами степени и решите уравнение:

а) $12^{x-2} = 3^{3x} \cdot 2^{6x}$;

б) $1000 \cdot 2^x = 5^{-x} \cdot (10^{x-1})^x$;

в) $(2^{\frac{x}{3}})^{\frac{3x}{4}} : 4^{-8} = \frac{12^{16}}{3^{0.25x^2}}$;

г) $9^x \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{2-3x} = \sqrt{27^x} \cdot \sqrt[3]{81^{x+3}}$.

а) $12^{x-2} = 3^{3x} \cdot 2^{6x}$

Приведем обе части уравнения к одному основанию. Заметим, что $12 = 3 \cdot 4 = 3 \cdot 2^2$.

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$3^{3x} \cdot 2^{6x} = 3^{3x} \cdot (2^2)^{3x} = 3^{3x} \cdot 4^{3x} = (3 \cdot 4)^{3x} = 12^{3x}$

Теперь уравнение имеет вид:

$12^{x-2} = 12^{3x}$

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$x - 2 = 3x$

$3x - x = -2$

$2x = -2$

$x = -1$

Ответ: -1

б) $1000 \cdot 2^x = 5^{-x} \cdot (10^{x-1})^x$

Представим все числа в виде степеней с основаниями 2 и 5.

Преобразуем левую часть: $1000 = 10^3 = (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3$.

$1000 \cdot 2^x = 2^3 \cdot 5^3 \cdot 2^x = 2^{3+x} \cdot 5^3$

Преобразуем правую часть: $(10^{x-1})^x = 10^{x(x-1)} = 10^{x^2-x}$.

$5^{-x} \cdot 10^{x^2-x} = 5^{-x} \cdot (2 \cdot 5)^{x^2-x} = 5^{-x} \cdot 2^{x^2-x} \cdot 5^{x^2-x} = 2^{x^2-x} \cdot 5^{x^2-x-x} = 2^{x^2-x} \cdot 5^{x^2-2x}$

Приравниваем преобразованные левую и правую части:

$2^{x+3} \cdot 5^3 = 2^{x^2-x} \cdot 5^{x^2-2x}$

Данное равенство справедливо тогда и только тогда, когда равны показатели степеней при одинаковых основаниях. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x+3 = x^2-x \\ 3 = x^2-2x \end{cases}$

Оба уравнения приводятся к одному и тому же виду: $x^2 - 2x - 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 2$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -3$.

Подбором находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Ответ: -1; 3

в) $(2^{\frac{x}{3}})^{\frac{3x}{4}} : 4^{-8} = \frac{12^{16}}{3^{0.25x^2}}$

Приведем все степени к основаниям 2 и 3.

Преобразуем левую часть:

$(2^{\frac{x}{3}})^{\frac{3x}{4}} = 2^{\frac{x}{3} \cdot \frac{3x}{4}} = 2^{\frac{3x^2}{12}} = 2^{\frac{x^2}{4}}$

$4^{-8} = (2^2)^{-8} = 2^{-16}$

$(2^{\frac{x^2}{4}}) : (2^{-16}) = 2^{\frac{x^2}{4} - (-16)} = 2^{\frac{x^2}{4} + 16}$

Преобразуем правую часть:

$12^{16} = (3 \cdot 2^2)^{16} = 3^{16} \cdot (2^2)^{16} = 3^{16} \cdot 2^{32}$

$3^{0.25x^2} = 3^{\frac{1}{4}x^2} = 3^{\frac{x^2}{4}}$

$\frac{12^{16}}{3^{0.25x^2}} = \frac{3^{16} \cdot 2^{32}}{3^{\frac{x^2}{4}}} = 2^{32} \cdot 3^{16 - \frac{x^2}{4}}$

Приравниваем левую и правую части:

$2^{\frac{x^2}{4} + 16} = 2^{32} \cdot 3^{16 - \frac{x^2}{4}}$

Разделим обе части на $2^{32}$:

$2^{\frac{x^2}{4} + 16 - 32} = 3^{16 - \frac{x^2}{4}}$

$2^{\frac{x^2}{4} - 16} = 3^{-(\frac{x^2}{4} - 16)}$

Пусть $y = \frac{x^2}{4} - 16$. Тогда уравнение примет вид $2^y = 3^{-y}$, или $2^y = \frac{1}{3^y}$.

$2^y \cdot 3^y = 1 \implies (2 \cdot 3)^y = 1 \implies 6^y = 1$.

Это равенство выполняется только при $y=0$.

Вернемся к замене:

$\frac{x^2}{4} - 16 = 0$

$\frac{x^2}{4} = 16$

$x^2 = 64$

$x_1 = 8, x_2 = -8$

Ответ: -8; 8

г) $9^x \cdot (\frac{1}{3})^{2-3x} = \sqrt{27^x} \cdot \sqrt[3]{81^{x+3}}$

Приведем все члены уравнения к основанию 3.

Левая часть:

$9^x \cdot (\frac{1}{3})^{2-3x} = (3^2)^x \cdot (3^{-1})^{2-3x} = 3^{2x} \cdot 3^{-2+3x} = 3^{2x+3x-2} = 3^{5x-2}$

Правая часть:

$\sqrt{27^x} \cdot \sqrt[3]{81^{x+3}} = ( (3^3)^x )^{\frac{1}{2}} \cdot ( (3^4)^{x+3} )^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{3x}{2}} \cdot 3^{\frac{4(x+3)}{3}} = 3^{\frac{3x}{2} + \frac{4x+12}{3}}$

Сложим показатели в правой части, приведя их к общему знаменателю 6:

$\frac{3x}{2} + \frac{4x+12}{3} = \frac{3 \cdot (3x)}{6} + \frac{2 \cdot (4x+12)}{6} = \frac{9x + 8x + 24}{6} = \frac{17x+24}{6}$

Приравниваем показатели степеней левой и правой частей:

$5x - 2 = \frac{17x+24}{6}$

Умножим обе части на 6:

$6(5x-2) = 17x+24$

$30x - 12 = 17x+24$

$30x - 17x = 24 + 12$

$13x = 36$

$x = \frac{36}{13}$

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$x = 2\frac{10}{13}$

Ответ: $2\frac{10}{13}$