Номер 2, страница 30 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.2. Найдите все корни уравнения:

а) $5^{x^2 - 2x - 1} = 25;$

б) $0.1^{x^2 + x - 12} = 1;$

в) $27^{5 - x^2} = 3^{x^2 - 1};$

г) $4^{x^2 - 8x + 12} = \frac{1}{64}.$

а) $5^{x^2-2x-1} = 25$

Чтобы решить это показательное уравнение, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 5.

Правая часть уравнения, число 25, может быть представлена как $5^2$.

Подставим это в исходное уравнение:

$5^{x^2-2x-1} = 5^2$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x^2 - 2x - 1 = 2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 1 - 2 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = 2$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -3$.

Подбираем корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Проверка: $3 + (-1) = 2$ и $3 \cdot (-1) = -3$. Корни найдены верно.

Ответ: -1; 3.

б) $0,1^{x^2 + x - 12} = 1$

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. Представим 1 в правой части как степень с основанием 0,1.

$1 = 0,1^0$

Теперь уравнение имеет вид:

$0,1^{x^2 + x - 12} = 0,1^0$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$x^2 + x - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, произведение $x_1 \cdot x_2 = -12$.

Подбираем корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.

Проверка: $3 + (-4) = -1$ и $3 \cdot (-4) = -12$. Корни найдены верно.

Ответ: -4; 3.

в) $27^{5-x^2} = 3^{x^2-1}$

Приведем обе части уравнения к общему основанию 3. Число 27 — это $3^3$.

Заменим 27 на $3^3$ в левой части уравнения:

$(3^3)^{5-x^2} = 3^{x^2-1}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$3^{3(5-x^2)} = 3^{x^2-1}$

$3^{15-3x^2} = 3^{x^2-1}$

Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели:

$15 - 3x^2 = x^2 - 1$

Соберем слагаемые с $x^2$ в одной части, а свободные члены — в другой:

$15 + 1 = x^2 + 3x^2$

$16 = 4x^2$

$x^2 = \frac{16}{4}$

$x^2 = 4$

Отсюда находим два корня:

$x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: -2; 2.

г) $4^{x^2-8x+12} = \frac{1}{64}$

Приведем обе части к основанию 4. Представим правую часть уравнения как степень числа 4.

Мы знаем, что $64 = 4^3$. Тогда $\frac{1}{64} = \frac{1}{4^3} = 4^{-3}$.

Уравнение принимает вид:

$4^{x^2-8x+12} = 4^{-3}$

Приравниваем показатели степеней:

$x^2 - 8x + 12 = -3$

Переносим -3 в левую часть:

$x^2 - 8x + 12 + 3 = 0$

$x^2 - 8x + 15 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = 8$, произведение $x_1 \cdot x_2 = 15$.

Подбираем корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Проверка: $3 + 5 = 8$ и $3 \cdot 5 = 15$. Корни найдены верно.

Ответ: 3; 5.