Номер 10, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.10. Решите уравнение:

a) $9^x = 9 + 8 \cdot 3^x$;

б) $4^x + 7 \cdot 2^{x-1} = 4,5$;

в) $8^{x+1} - 8^{2x-1} = 30$;

г) $3^{2x}(3^{2x+1} + 2) = 1$;

д) $(\frac{1}{9})^x - 3^{1-x} - 54 = 0$;

е) $9^{x^2-1} - 36 \cdot 3^{x^2-3} + 3 = 0.$

а) Приведем уравнение $9^x = 9 + 8 \cdot 3^x$ к квадратному виду, заметив, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$.
$(3^x)^2 - 8 \cdot 3^x - 9 = 0$.
Сделаем замену переменной $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$t^2 - 8t - 9 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 9$ и $t_2 = -1$.
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.
Возвращаемся к замене:
$3^x = 9$
$3^x = 3^2$
$x = 2$.
Ответ: $2$.

б) Преобразуем уравнение $4^x + 7 \cdot 2^{x-1} = 4,5$, приведя все степени к основанию 2.
$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$
$2^{x-1} = 2^x \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^x$.
Уравнение принимает вид:
$(2^x)^2 + 7 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2^x - 4,5 = 0$.
Сделаем замену $t = 2^x$, где $t > 0$.
$t^2 + \frac{7}{2}t - \frac{9}{2} = 0$.
Умножим обе части уравнения на 2:
$2t^2 + 7t - 9 = 0$.
Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.
$t_1 = \frac{-7 - 11}{4} = -\frac{18}{4} = -4,5$
$t_2 = \frac{-7 + 11}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Корень $t_1 = -4,5$ не удовлетворяет условию $t>0$.
Возвращаемся к замене:
$2^x = 1$
$2^x = 2^0$
$x = 0$.
Ответ: $0$.

в) Преобразуем уравнение $8^{x+1} - 8^{2x-1} = 30$.
$8 \cdot 8^x - \frac{8^{2x}}{8} = 30$.
Сделаем замену $t = 8^x$, где $t > 0$.
$8t - \frac{t^2}{8} = 30$.
Умножим обе части на 8:
$64t - t^2 = 240$
$t^2 - 64t + 240 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-64)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 240 = 4096 - 960 = 3136 = 56^2$.
$t_1 = \frac{64 - 56}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$t_2 = \frac{64 + 56}{2} = \frac{120}{2} = 60$.
Оба корня положительны, поэтому оба подходят.
1) $8^x = 4$. Приведем к основанию 2: $(2^3)^x = 2^2 \implies 2^{3x} = 2^2 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$.
2) $8^x = 60$. Логарифмируя, получаем $x = \log_8 60$.
Ответ: $\frac{2}{3}; \log_8 60$.

г) В уравнении $3^{2x}(3^{2x+1} + 2) = 1$ раскроем скобки:
$3^{2x} \cdot 3^{2x+1} + 2 \cdot 3^{2x} = 1$
$3^{4x+1} + 2 \cdot 3^{2x} - 1 = 0$
$3 \cdot (3^{2x})^2 + 2 \cdot 3^{2x} - 1 = 0$.
Сделаем замену $t = 3^{2x}$, где $t > 0$.
$3t^2 + 2t - 1 = 0$.
Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$.
$t_1 = \frac{-2 - 4}{6} = -1$
$t_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Корень $t_1 = -1$ не подходит по условию $t>0$.
Возвращаемся к замене:
$3^{2x} = \frac{1}{3}$
$3^{2x} = 3^{-1}$
$2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

д) Преобразуем уравнение $(\frac{1}{9})^x - 3^{1-x} - 54 = 0$, приведя степени к одному основанию 3.
$(\frac{1}{9})^x = (3^{-2})^x = 3^{-2x} = (3^{-x})^2$
$3^{1-x} = 3 \cdot 3^{-x}$.
Получаем: $(3^{-x})^2 - 3 \cdot 3^{-x} - 54 = 0$.
Сделаем замену $t = 3^{-x}$, где $t > 0$.
$t^2 - 3t - 54 = 0$.
По теореме Виета, корни $t_1 = 9$ и $t_2 = -6$.
Корень $t_2 = -6$ не подходит.
Возвращаемся к замене:
$3^{-x} = 9$
$3^{-x} = 3^2$
$-x = 2 \implies x = -2$.
Ответ: $-2$.

е) В уравнении $9^{x^2-1} - 36 \cdot 3^{x^2-3} + 3 = 0$ приведем все степени к основанию 3.
$(3^2)^{x^2-1} - 36 \cdot 3^{x^2-3} + 3 = 0$
$3^{2x^2-2} - 36 \cdot 3^{x^2-3} + 3 = 0$.
Вынесем общий множитель в показателях:
$3^{2x^2} \cdot 3^{-2} - 36 \cdot 3^{x^2} \cdot 3^{-3} + 3 = 0$
$\frac{(3^{x^2})^2}{9} - 36 \cdot \frac{3^{x^2}}{27} + 3 = 0$
$\frac{(3^{x^2})^2}{9} - \frac{4}{3} \cdot 3^{x^2} + 3 = 0$.
Сделаем замену $t = 3^{x^2}$. Так как $x^2 \ge 0$, то $3^{x^2} \ge 3^0 = 1$, значит $t \ge 1$.
$\frac{t^2}{9} - \frac{4t}{3} + 3 = 0$.
Умножим на 9: $t^2 - 12t + 27 = 0$.
По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = 9$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 1$.
1) $3^{x^2} = 3 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
2) $3^{x^2} = 9 \implies 3^{x^2} = 3^2 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}$.
Ответ: $\pm 1; \pm \sqrt{2}$.