Номер 6, страница 30 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.6. Решите уравнение $ \sqrt[12]{9} - (3\sqrt[6]{3})^{\frac{x^2+2x}{7}-1} = 0. $

Запишем исходное уравнение:

$\sqrt[12]{9} - (3\sqrt[6]{3})^{\frac{x^2+2x}{7}-1} = 0$

Для решения перенесем второй член в правую часть уравнения, чтобы разделить выражения с переменной и без нее:

$\sqrt[12]{9} = (3\sqrt[6]{3})^{\frac{x^2+2x}{7}-1}$

Это показательное уравнение. Чтобы его решить, необходимо привести обе части к одному основанию. В данном случае, удобно использовать основание 3.

1. Преобразуем левую часть уравнения:

Используем свойства корней и степеней: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

$\sqrt[12]{9} = \sqrt[12]{3^2} = 3^{\frac{2}{12}} = 3^{\frac{1}{6}}$

2. Преобразуем правую часть уравнения:

Сначала упростим выражение в скобках (основание степени), используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3\sqrt[6]{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{6}} = 3^{1+\frac{1}{6}} = 3^{\frac{7}{6}}$

Теперь подставим полученное основание обратно в правую часть и применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(3^{\frac{7}{6}})^{\frac{x^2+2x}{7}-1} = 3^{\frac{7}{6} \cdot (\frac{x^2+2x}{7}-1)} = 3^{\frac{7}{6} \cdot \frac{x^2+2x}{7} - \frac{7}{6} \cdot 1} = 3^{\frac{x^2+2x}{6} - \frac{7}{6}} = 3^{\frac{x^2+2x-7}{6}}$

3. Решаем полученное уравнение:

Теперь, когда обе части уравнения приведены к одному основанию, мы можем приравнять их показатели:

$3^{\frac{1}{6}} = 3^{\frac{x^2+2x-7}{6}}$

$\frac{1}{6} = \frac{x^2+2x-7}{6}$

Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от знаменателя:

$1 = x^2+2x-7$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2+2x-7-1 = 0$

$x^2+2x-8 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна -2, а их произведение равно -8. Этим условиям удовлетворяют числа -4 и 2.

Или решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 6}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 6}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

Корни уравнения: -4 и 2.

Ответ: -4; 2.