Номер 5, страница 30 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.5. Найдите среднее арифметическое корней уравнения

$(0,(3))^{x^2} \cdot 3^{2-2x} = \frac{1}{27}$

Для решения данного уравнения необходимо привести все его части к одному основанию. В данном случае, это основание 3.

1. Преобразование десятичной дроби.
Периодическая десятичная дробь $0,(3)$ равна обыкновенной дроби $\frac{1}{3}$. Это можно показать следующим образом: пусть $x = 0,333...$, тогда $10x = 3,333...$. Вычитая первое уравнение из второго, получаем $9x = 3$, откуда $x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

2. Приведение всех частей уравнения к основанию 3.
Представим все числа в уравнении как степени с основанием 3:

• $(0,(3))^{x^2} = (\frac{1}{3})^{x^2} = (3^{-1})^{x^2} = 3^{-x^2}$
• $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$

3. Подстановка и упрощение уравнения.
Подставим преобразованные значения в исходное уравнение: $$ (0,(3))^{x^2} \cdot 3^{2-2x} = \frac{1}{27} $$ $$ 3^{-x^2} \cdot 3^{2-2x} = 3^{-3} $$ Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), сложим показатели в левой части: $$ 3^{-x^2 + (2-2x)} = 3^{-3} $$ $$ 3^{-x^2 - 2x + 2} = 3^{-3} $$

4. Решение показательного уравнения.
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $$ -x^2 - 2x + 2 = -3 $$ Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ -x^2 - 2x + 2 + 3 = 0 $$ $$ -x^2 - 2x + 5 = 0 $$ Для удобства умножим обе части уравнения на -1: $$ x^2 + 2x - 5 = 0 $$

5. Нахождение среднего арифметического корней.
Среднее арифметическое корней $x_1$ и $x_2$ находится по формуле $\frac{x_1 + x_2}{2}$.
Для нахождения суммы корней воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.
В нашем уравнении $x^2 + 2x - 5 = 0$ коэффициенты равны $a=1$, $b=2$, $c=-5$.
Сумма корней: $$ x_1 + x_2 = -\frac{2}{1} = -2 $$ Среднее арифметическое корней: $$ \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $$

Ответ: -1