Номер 15, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.15. Решите уравнение $15 \cdot (2^x + 2^{-x}) = 17 \cdot (2^x - 2^{-x})$.

Дано показательное уравнение:

$$15 \cdot (2^x + 2^{-x}) = 17 \cdot (2^x - 2^{-x})$$

Для его решения выполним следующие шаги:

1. Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

   $$15 \cdot 2^x + 15 \cdot 2^{-x} = 17 \cdot 2^x - 17 \cdot 2^{-x}$$

2. Сгруппируем слагаемые. Перенесем все члены, содержащие $2^{-x}$, в левую часть, а члены, содержащие $2^x$, в правую часть:

   $$15 \cdot 2^{-x} + 17 \cdot 2^{-x} = 17 \cdot 2^x - 15 \cdot 2^x$$

3. Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

   $$(15 + 17) \cdot 2^{-x} = (17 - 15) \cdot 2^x$$

   $$32 \cdot 2^{-x} = 2 \cdot 2^x$$

4. Воспользуемся свойством степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и перепишем $2^{-x}$ как $\frac{1}{2^x}$:

   $$32 \cdot \frac{1}{2^x} = 2 \cdot 2^x$$

5. Умножим обе части уравнения на $2^x$. Так как показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения ($2^x > 0$), это преобразование является равносильным:

   $$32 = 2 \cdot 2^x \cdot 2^x$$

   Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим:

   $$32 = 2 \cdot 2^{x+x}$$

   $$32 = 2 \cdot 2^{2x}$$

6. Разделим обе части на 2:

   $$\frac{32}{2} = 2^{2x}$$

   $$16 = 2^{2x}$$

7. Представим число 16 как степень с основанием 2: $16 = 2^4$.

   $$2^4 = 2^{2x}$$

8. Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

   $$4 = 2x$$

9. Находим значение $x$:

   $$x = \frac{4}{2}$$

   $$x = 2$$