Номер 8, страница 190 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8. Найдите все значения аргумента, при которых график функции

$y = x^4 + x^2 - 6$

расположен выше оси абсцисс.

$(-\sqrt{2}; \sqrt{2})$

$(-\infty; -\sqrt{2}) \cup (-\sqrt{2}; -1) \cup (1; \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$

$(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$

$(-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$

$(-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$

Для того чтобы найти все значения аргумента $x$, при которых график функции $y = x^4 + x^2 - 6$ расположен выше оси абсцисс, необходимо решить неравенство $y > 0$.

Составим и решим соответствующее биквадратное неравенство:

$x^4 + x^2 - 6 > 0$

Для решения этого неравенства введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, на новую переменную $t$ накладывается ограничение: $t \ge 0$.

После подстановки неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно переменной $t$:

$t^2 + t - 6 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 + t - 6 = 0$, чтобы определить интервалы, на которых выражение $t^2 + t - 6$ положительно.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Корни уравнения равны:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = -3$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = 2$

Квадратный трехчлен $t^2 + t - 6$ можно разложить на множители: $(t - t_1)(t - t_2) = (t - (-3))(t - 2) = (t + 3)(t - 2)$.

Таким образом, неравенство принимает вид $(t + 3)(t - 2) > 0$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями, то есть при $t < -3$ или $t > 2$.

Теперь необходимо учесть ограничение $t \ge 0$. Из двух полученных решений ($t < -3$ и $t > 2$) этому ограничению удовлетворяет только $t > 2$.

Произведем обратную замену, подставив $x^2$ вместо $t$:

$x^2 > 2$

Решением этого неравенства являются значения $x$, модуль которых больше $\sqrt{2}$. Это равносильно совокупности двух неравенств:

$x < -\sqrt{2}$ или $x > \sqrt{2}$

В виде объединения интервалов решение записывается как $x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, заключаем, что он соответствует варианту г).

г) Ответ: $(-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$