Номер 13, страница 191 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13. Найдите наименьшее целое решение неравенства

$\frac{(x^2+2x+1)(x^2-6x+9)}{x-3} \ge 0$.

Для решения неравенства выполним следующие шаги.

1. Упростим выражение в левой части неравенства.

Исходное неравенство:

$$ \frac{(x^2 + 2x + 1)(x^2 - 6x + 9)}{x - 3} \ge 0 $$

Заметим, что выражения в скобках в числителе являются полными квадратами, которые можно свернуть по формулам сокращенного умножения:

$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$

$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$$ \frac{(x+1)^2 (x-3)^2}{x - 3} \ge 0 $$

2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому накладываем ограничение:

$x - 3 \ne 0$

$x \ne 3$

3. Решим неравенство.

Поскольку $x \ne 3$, мы можем сократить дробь на $(x-3)$. Неравенство примет эквивалентный вид на ОДЗ:

$$ (x+1)^2 (x-3) \ge 0 $$

Теперь решим это неравенство методом интервалов. Множитель $(x+1)^2$ всегда неотрицателен (то есть $\ge 0$ при любых значениях $x$).

Рассмотрим два случая, когда произведение будет неотрицательным:

Случай 1: Произведение равно нулю.

Это возможно, если один из множителей равен нулю. $(x+1)^2 = 0$ при $x = -1$. Это значение входит в ОДЗ. При $x=-1$ левая часть исходного неравенства обращается в 0, и неравенство $0 \ge 0$ выполняется. Следовательно, $x=-1$ является решением.

Случай 2: Произведение строго больше нуля.

Поскольку $(x+1)^2 > 0$ при всех $x \ne -1$, для выполнения неравенства $(x+1)^2 (x-3) > 0$ необходимо, чтобы второй множитель был положителен:

$x - 3 > 0$

$x > 3$

Это множество решений также удовлетворяет ОДЗ ($x \ne 3$).

4. Найдем наименьшее целое решение.

Объединяя полученные результаты, получаем, что решением исходного неравенства является множество $x \in \{-1\} \cup (3; +\infty)$.

Целыми решениями являются число $-1$ и все целые числа, большие 3, то есть $4, 5, 6, \ldots$.

Наименьшим из этих целых решений является $-1$.

Ответ: -1.