Номер 11, страница 191 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11. Найдите число целых значений аргумента из промежутка $[-18;1]$, при которых график функции $y = (x+2)^2$ расположен ниже графика функции $y = 2x(x+3)+7$.

Для того чтобы найти значения аргумента, при которых график функции $y = (x + 2)^2$ расположен ниже графика функции $y = 2x(x + 3) + 7$, необходимо решить следующее неравенство:

$(x + 2)^2 < 2x(x + 3) + 7$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части применим формулу сокращенного умножения (квадрат суммы), а в правой — распределительный закон:

$x^2 + 4x + 4 < 2x^2 + 6x + 7$

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить квадратное неравенство в стандартном виде:

$0 < (2x^2 - x^2) + (6x - 4x) + (7 - 4)$

$0 < x^2 + 2x + 3$

Теперь решим неравенство $x^2 + 2x + 3 > 0$. Для этого проанализируем квадратичную функцию $f(x) = x^2 + 2x + 3$. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, для чего решим уравнение $x^2 + 2x + 3 = 0$. Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось $Ox$. Учитывая, что ее ветви направлены вверх, вся парабола находится выше оси $Ox$. Следовательно, выражение $x^2 + 2x + 3$ положительно при любых действительных значениях $x$.

Таким образом, исходное неравенство справедливо для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

Согласно условию, нам нужно найти количество целых значений аргумента из промежутка $[-18; 1]$. Так как неравенство выполняется для всех $x$, нам необходимо посчитать количество целых чисел в этом промежутке.

Целые числа, входящие в промежуток $[-18; 1]$, это: $-18, -17, -16, \dots, -1, 0, 1$.

Количество целых чисел на отрезке от $a$ до $b$ можно найти по формуле $N = b - a + 1$:

$N = 1 - (-18) + 1 = 1 + 18 + 1 = 20$

11. Ответ: 20