Номер 10, страница 190 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10. Найдите число целых отрицательных решений неравенства

$\frac{3x^2 - 11x + 22}{x^2 - 4x - 5} \gg 3.$

Для решения данного неравенства преобразуем его, перенеся 3 в левую часть и приведя выражение к общему знаменателю.

$\frac{3x^2 - 11x + 22}{x^2 - 4x - 5} \ge 3$

$\frac{3x^2 - 11x + 22}{x^2 - 4x - 5} - 3 \ge 0$

$\frac{3x^2 - 11x + 22 - 3(x^2 - 4x - 5)}{x^2 - 4x - 5} \ge 0$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - 11x + 22 - 3x^2 + 12x + 15 = (3x^2 - 3x^2) + (-11x + 12x) + (22 + 15) = x + 37$

В результате неравенство принимает следующий вид:

$\frac{x + 37}{x^2 - 4x - 5} \ge 0$

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

1. Найдем нуль числителя:

$x + 37 = 0 \implies x = -37$

Так как неравенство нестрогое ($\ge$), это значение $x$ входит в решение.

2. Найдем нули знаменателя:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Эти значения $x$ необходимо исключить из решения, так как на ноль делить нельзя. Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета: сумма корней равна 4, а их произведение равно -5. Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, область допустимых значений: $x \ne 5$ и $x \ne -1$.

3. Нанесем точки $-37$, $-1$ и $5$ на числовую ось, чтобы определить знаки выражения $\frac{x+37}{(x-5)(x+1)}$ на полученных интервалах. Точка $-37$ будет закрашенной, а точки $-1$ и $5$ — выколотыми.

Определим знаки на интервалах:

• Интервал $(5, +\infty)$: при $x=6$ выражение $\frac{6+37}{(6-5)(6+1)} > 0$ (положительно).
• Интервал $(-1, 5)$: при $x=0$ выражение $\frac{0+37}{(0-5)(0+1)} < 0$ (отрицательно).
• Интервал $(-37, -1)$: при $x=-2$ выражение $\frac{-2+37}{(-2-5)(-2+1)} > 0$ (положительно).
• Интервал $(-\infty, -37)$: при $x=-40$ выражение $\frac{-40+37}{(-40-5)(-40+1)} < 0$ (отрицательно).

Мы ищем значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Следовательно, решением неравенства является объединение промежутков, где оно положительно, и точки, где числитель равен нулю:

$x \in [-37, -1) \cup (5, +\infty)$

Согласно условию задачи, необходимо найти количество целых отрицательных решений. Эти решения находятся в промежутке $[-37, -1)$.

Целые числа, входящие в этот промежуток: $-37, -36, -35, \dots, -2$.

Для подсчета количества этих чисел можно воспользоваться формулой: $N = \text{последнее число} - \text{первое число} + 1$.

$N = (-2) - (-37) + 1 = -2 + 37 + 1 = 36$.

Число целых отрицательных решений: Ответ: 36