Номер 20.8, страница 104 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.8. Упростите выражение $7 \cdot \left(\left(\left(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}\right)^{-1} + \left(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}\right)^{-1}\right)^{-2} : \frac{a-b}{4\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)}\right)$

и найдите его значение при $a = 196$, $b = 36$.

Упрощение выражения: Сначала преобразуем выражение в больших скобках. Используя свойство $x^{-1} = \frac{1}{x}$, перепишем сумму: $(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})^{-1} + (\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})^{-1} = \frac{1}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} + \frac{1}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}$. Приведем дроби к общему знаменателю, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$: $\frac{(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}) + (\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})}{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})} = \frac{2\sqrt[4]{a}}{(\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{b})^2} = \frac{2\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$. Теперь возведем полученное выражение в степень $-2$: $\left(\frac{2\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\right)^{-2} = \left(\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{2\sqrt[4]{a}}\right)^{2} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{(2\sqrt[4]{a})^2} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{4\sqrt{a}}$. Далее упростим делитель, разложив числитель по формуле разности квадратов: $\frac{a-b}{4(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{4(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{4}$. Наконец, выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь: $7 \cdot \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{4\sqrt{a}} : \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{4} = \frac{7(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{4\sqrt{a}} \cdot \frac{4}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$. Сократив одинаковые множители, получим итоговое упрощенное выражение. Ответ: $\frac{7(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{\sqrt{a}}$.

Нахождение значения выражения: Подставим заданные значения $a=196$ и $b=36$ в упрощенное выражение $\frac{7(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{\sqrt{a}}$. Сначала вычислим значения корней: $\sqrt{a} = \sqrt{196} = 14$ и $\sqrt{b} = \sqrt{36} = 6$. Подставим числа в выражение и вычислим результат: $\frac{7(14 - 6)}{14} = \frac{7 \cdot 8}{14} = \frac{56}{14} = 4$. Ответ: 4.