Номер 21.3, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

21.3. Расположите в порядке возрастания числа:

а) $\sqrt{3}, \sqrt[3]{5}$ и $\sqrt[4]{7};$

б) $\sqrt[3]{6}, \sqrt{30}$ и $\sqrt[4]{10}.$

a) Чтобы расположить числа $\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{5}$ и $\sqrt[4]{7}$ в порядке возрастания, необходимо привести их к общему показателю корня. Показатели корней — это 2, 3 и 4. Наименьшее общее кратное этих чисел (НОК) равно 12. Приведем все три корня к 12-й степени:

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{6}{12}} = \sqrt[12]{3^6} = \sqrt[12]{729}$

$\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{4}{12}} = \sqrt[12]{5^4} = \sqrt[12]{625}$

$\sqrt[4]{7} = 7^{\frac{1}{4}} = 7^{\frac{3}{12}} = \sqrt[12]{7^3} = \sqrt[12]{343}$

Теперь сравним подкоренные выражения: $343 < 625 < 729$. Поскольку функция $y=\sqrt[n]{x}$ является возрастающей для $x > 0$, то чем больше значение подкоренного выражения, тем больше и значение самого корня. Следовательно, $\sqrt[12]{343} < \sqrt[12]{625} < \sqrt[12]{729}$, что соответствует неравенству $\sqrt[4]{7} < \sqrt[3]{5} < \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt[4]{7}, \sqrt[3]{5}, \sqrt{3}$.

б) Чтобы расположить числа $\sqrt[3]{6}$, $\sqrt{\sqrt[3]{30}}$ и $\sqrt[4]{10}$ в порядке возрастания, сначала упростим второе число, используя свойство корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$:

$\sqrt{\sqrt[3]{30}} = \sqrt[2 \cdot 3]{30} = \sqrt[6]{30}$

Теперь необходимо сравнить $\sqrt[3]{6}$, $\sqrt[6]{30}$ и $\sqrt[4]{10}$. Показатели корней — это 3, 6 и 4. НОК(3, 6, 4) = 12. Приведем все корни к 12-й степени:

$\sqrt[3]{6} = 6^{\frac{1}{3}} = 6^{\frac{4}{12}} = \sqrt[12]{6^4} = \sqrt[12]{1296}$

$\sqrt[6]{30} = 30^{\frac{1}{6}} = 30^{\frac{2}{12}} = \sqrt[12]{30^2} = \sqrt[12]{900}$

$\sqrt[4]{10} = 10^{\frac{1}{4}} = 10^{\frac{3}{12}} = \sqrt[12]{10^3} = \sqrt[12]{1000}$

Сравним подкоренные выражения: $900 < 1000 < 1296$. Следовательно, $\sqrt[12]{900} < \sqrt[12]{1000} < \sqrt[12]{1296}$, что соответствует неравенству $\sqrt[6]{30} < \sqrt[4]{10} < \sqrt[3]{6}$.
Возвращаясь к исходному виду чисел, получаем итоговый порядок: $\sqrt{\sqrt[3]{30}}, \sqrt[4]{10}, \sqrt[3]{6}$.
Ответ: $\sqrt{\sqrt[3]{30}}, \sqrt[4]{10}, \sqrt[3]{6}$.