Номер 20.6, страница 104 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.6. Верно ли, что значение выражения является рациональным числом:

а) $5\sqrt[3]{6\sqrt[3]{32}} - 3\sqrt[3]{9\sqrt[6]{162}} - 11\sqrt[6]{18} + 2\sqrt[3]{75\sqrt[3]{50}}$;

б) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{5}\sqrt{5} + \sqrt[5]{36}\sqrt{6} + 26 - 4\sqrt{30}}$?

а)

Для того чтобы определить, является ли значение выражения рациональным числом, упростим каждый член выражения по отдельности, приводя все корни к одному показателю.

1. Упростим первый член: $5\sqrt[3]{6\sqrt{32}}$.
Сначала упростим подкоренное выражение: $6\sqrt{32} = 6\sqrt{16 \cdot 2} = 6 \cdot 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$.
Теперь внесем множитель $24$ под знак квадратного корня: $24\sqrt{2} = \sqrt{24^2 \cdot 2} = \sqrt{576 \cdot 2} = \sqrt{1152}$.
Выражение принимает вид: $5\sqrt[3]{\sqrt{1152}}$.
Используя свойство корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$, получаем: $5\sqrt[6]{1152}$.
Разложим $1152$ на множители: $1152 = 2 \cdot 576 = 2 \cdot 24^2 = 2 \cdot (8 \cdot 3)^2 = 2 \cdot (2^3 \cdot 3)^2 = 2 \cdot 2^6 \cdot 3^2 = 2^7 \cdot 3^2 = 2^6 \cdot 18$.
Тогда $5\sqrt[6]{1152} = 5\sqrt[6]{2^6 \cdot 18} = 5 \cdot 2\sqrt[6]{18} = 10\sqrt[6]{18}$.

2. Упростим второй член: $-3\sqrt[3]{9\sqrt{162}}$.
Упростим подкоренное выражение: $9\sqrt{162} = 9\sqrt{81 \cdot 2} = 9 \cdot 9\sqrt{2} = 81\sqrt{2}$.
Внесем множитель $81$ под корень: $81\sqrt{2} = \sqrt{81^2 \cdot 2} = \sqrt{6561 \cdot 2} = \sqrt{13122}$.
Выражение принимает вид: $-3\sqrt[3]{\sqrt{13122}} = -3\sqrt[6]{13122}$.
Разложим $13122$ на множители: $13122 = 2 \cdot 6561 = 2 \cdot 81^2 = 2 \cdot (3^4)^2 = 2 \cdot 3^8 = 2 \cdot 3^2 \cdot 3^6 = 18 \cdot 3^6$.
Тогда $-3\sqrt[6]{13122} = -3\sqrt[6]{18 \cdot 3^6} = -3 \cdot 3\sqrt[6]{18} = -9\sqrt[6]{18}$.

3. Третий член $-11\sqrt[6]{18}$ уже приведен к нужному виду.

4. Упростим четвертый член: $2\sqrt[3]{75\sqrt{50}}$.
Упростим подкоренное выражение: $75\sqrt{50} = 75\sqrt{25 \cdot 2} = 75 \cdot 5\sqrt{2} = 375\sqrt{2}$.
Внесем множитель $375$ под корень: $375\sqrt{2} = \sqrt{375^2 \cdot 2} = \sqrt{140625 \cdot 2} = \sqrt{281250}$.
Выражение принимает вид: $2\sqrt[3]{\sqrt{281250}} = 2\sqrt[6]{281250}$.
Разложим $281250$ на множители: $281250 = 2 \cdot 140625 = 2 \cdot (375)^2 = 2 \cdot (3 \cdot 125)^2 = 2 \cdot (3 \cdot 5^3)^2 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^6 = 18 \cdot 5^6$.
Тогда $2\sqrt[6]{281250} = 2\sqrt[6]{18 \cdot 5^6} = 2 \cdot 5\sqrt[6]{18} = 10\sqrt[6]{18}$.

5. Теперь сложим все упрощенные члены:
$10\sqrt[6]{18} - 9\sqrt[6]{18} - 11\sqrt[6]{18} + 10\sqrt[6]{18} = (10 - 9 - 11 + 10)\sqrt[6]{18} = (1 - 11 + 10)\sqrt[6]{18} = 0 \cdot \sqrt[6]{18} = 0$.

Значение выражения равно $0$. Число $0$ является рациональным (его можно представить в виде дроби, например, $\frac{0}{1}$).
Ответ: да, значение выражения равно 0, что является рациональным числом.

б)

Для ответа на вопрос упростим числитель и знаменатель дроби.

1. Упростим числитель: $\sqrt{\sqrt[3]{5\sqrt{5}}} + \sqrt[5]{36\sqrt{6}}$.

Упростим первое слагаемое $\sqrt{\sqrt[3]{5\sqrt{5}}}$ с помощью степеней:
$5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{1/2} = 5^{3/2}$.
$\sqrt[3]{5\sqrt{5}} = \sqrt[3]{5^{3/2}} = (5^{3/2})^{1/3} = 5^{(3/2) \cdot (1/3)} = 5^{1/2} = \sqrt{5}$.
Следовательно, $\sqrt{\sqrt[3]{5\sqrt{5}}} = \sqrt{\sqrt{5}} = (5^{1/2})^{1/2} = 5^{1/4} = \sqrt[4]{5}$.

Упростим второе слагаемое $\sqrt[5]{36\sqrt{6}}$:
$36\sqrt{6} = 6^2 \cdot 6^{1/2} = 6^{5/2}$.
$\sqrt[5]{36\sqrt{6}} = \sqrt[5]{6^{5/2}} = (6^{5/2})^{1/5} = 6^{(5/2) \cdot (1/5)} = 6^{1/2} = \sqrt{6}$.

Таким образом, числитель равен $\sqrt[4]{5} + \sqrt{6}$.

2. Упростим знаменатель: $\sqrt{26 - 4\sqrt{30}}$.
Воспользуемся формулой сложного радикала $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y}$, где $x+y=A$ и $xy=B$.
Представим выражение в нужном виде: $\sqrt{26 - 4\sqrt{30}} = \sqrt{26 - 2\sqrt{4 \cdot 30}} = \sqrt{26 - 2\sqrt{120}}$.
Здесь $A=26$, $B=120$. Ищем два числа $x$ и $y$, такие что $x+y=26$ и $xy=120$. Подбором находим, что это числа $20$ и $6$.
Значит, $\sqrt{26 - 2\sqrt{120}} = \sqrt{(\sqrt{20} - \sqrt{6})^2} = |\sqrt{20} - \sqrt{6}|$. Так как $\sqrt{20} > \sqrt{6}$, модуль можно опустить.
Знаменатель равен $\sqrt{20} - \sqrt{6} = \sqrt{4 \cdot 5} - \sqrt{6} = 2\sqrt{5} - \sqrt{6}$.

3. Исходное выражение принимает вид:
$\frac{\sqrt[4]{5} + \sqrt{6}}{2\sqrt{5} - \sqrt{6}}$

Предположим, что это число является рациональным, то есть $\frac{\sqrt[4]{5} + \sqrt{6}}{2\sqrt{5} - \sqrt{6}} = q$, где $q \in \mathbb{Q}$.
Тогда $\sqrt[4]{5} + \sqrt{6} = q(2\sqrt{5} - \sqrt{6})$, что можно переписать как $\sqrt[4]{5} - 2q\sqrt{5} + (1+q)\sqrt{6} = 0$.
Это равенство не может выполняться ни для какого рационального $q$, так как числа $1, \sqrt[4]{5}, \sqrt{5}, \sqrt{6}$ линейно независимы над полем рациональных чисел. Следовательно, наше предположение неверно.
Ответ: нет, значение выражения является иррациональным числом.