Номер 21.1, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

21.1. Найдите область определения функции:

а) $f(x) = \frac{\sqrt[8]{x^2 - 4}}{\sqrt[4]{x - 1}};

б) $f(x) = \frac{5}{\sqrt[7]{x^2 - 5x}} + \sqrt[6]{x^2 - x - 20};

в) $f(x) = \sqrt[6]{x^3 - 2x^2} + \sqrt[10]{|x| - 2}.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл.

Дана функция $f(x) = \frac{\sqrt[8]{x^2 - 4}}{\sqrt[4]{x - 1}}$.

Для нахождения области определения этой функции необходимо учесть два условия:

1. Выражение под корнем четной степени (8-й) в числителе должно быть неотрицательным: $x^2 - 4 \ge 0$.
2. Выражение под корнем четной степени (4-й) в знаменателе должно быть строго положительным, так как корень четной степени требует неотрицательности, а нахождение в знаменателе исключает ноль: $x - 1 > 0$.

Таким образом, необходимо решить систему неравенств:

Решим первое неравенство: $x^2 - 4 \ge 0$.
Разложим на множители: $(x - 2)(x + 2) \ge 0$.
Решением этого неравенства является объединение промежутков: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

Решим второе неравенство: $x - 1 > 0$.
Решением является промежуток: $x \in (1, \infty)$.

Теперь найдем пересечение этих двух решений: $((-\infty, -2] \cup [2, \infty)) \cap (1, \infty)$.
Пересечением является промежуток $[2, \infty)$.

Ответ: $D(f) = [2, \infty)$.

Дана функция $f(x) = \frac{5}{\sqrt[7]{x^2 - 5x}} + \sqrt[6]{x^2 - x - 20}$.

Область определения этой функции является пересечением областей определения двух слагаемых.

1. Для первого слагаемого $\frac{5}{\sqrt[7]{x^2 - 5x}}$: корень нечетной степени (7-й) определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Однако, так как он находится в знаменателе, он не может быть равен нулю. Это означает, что подкоренное выражение не должно равняться нулю: $x^2 - 5x \neq 0$.
2. Для второго слагаемого $\sqrt[6]{x^2 - x - 20}$: корень четной степени (6-й), следовательно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - x - 20 \ge 0$.

Получаем систему условий:

Решим неравенство $x^2 - x - 20 \ge 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 20 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$.
Неравенство $(x - 5)(x + 4) \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -4] \cup [5, \infty)$.

Решим условие $x^2 - 5x \neq 0$.
$x(x - 5) \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x \neq 5$.

Найдем пересечение решений. Из множества $(-\infty, -4] \cup [5, \infty)$ необходимо исключить точки $0$ и $5$.
Точка $x = 0$ не принадлежит этому множеству. Точка $x = 5$ является граничной точкой, и по условию $x \ge 5$, но по второму условию $x \neq 5$. Следовательно, $x=5$ нужно исключить.

Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty, -4] \cup (5, \infty)$.

Ответ: $D(f) = (-\infty, -4] \cup (5, \infty)$.

Дана функция $f(x) = \sqrt[6]{x^3 - 2x^2} + \sqrt[10]{|x| - 2}$.

Область определения функции является пересечением областей определения двух слагаемых. Оба слагаемых содержат корни четной степени (6-й и 10-й), поэтому оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными.

Получаем систему неравенств:

Решим первое неравенство: $x^3 - 2x^2 \ge 0$.
Вынесем общий множитель: $x^2(x - 2) \ge 0$.
Множитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Неравенство обращается в верное равенство при $x = 0$. Если $x \neq 0$, то $x^2 > 0$, и неравенство можно сократить на $x^2$, получив $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.
Объединяя эти случаи, получаем решение: $\{0\} \cup [2, \infty)$.

Решим второе неравенство: $|x| - 2 \ge 0$.
$|x| \ge 2$.
Это неравенство равносильно совокупности $x \le -2$ или $x \ge 2$.
Решением является множество $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

Найдем пересечение решений двух неравенств: $(\{0\} \cup [2, \infty)) \cap ((-\infty, -2] \cup [2, \infty))$.
Точка $x=0$ не принадлежит второму множеству. Пересечение промежутка $[2, \infty)$ со вторым множеством дает $[2, \infty)$.

Следовательно, областью определения исходной функции является промежуток $[2, \infty)$.

Ответ: $D(f) = [2, \infty)$.