Номер 20.3, страница 104 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.3. Вычислите: $ \frac{12 \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt{5\sqrt[3]{5}}}{(\sqrt[4]{25}-1)(\sqrt[4]{25}+1)} $

20.3. Для вычисления значения выражения упростим его числитель и знаменатель по отдельности.

1. Упрощение числителя: $12 \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt{5\sqrt[3]{5}}$
Сначала преобразуем выражение $\sqrt{5\sqrt[3]{5}}$, представив корни в виде степеней с рациональными показателями.
$\sqrt{5\sqrt[3]{5}} = \sqrt{5^1 \cdot 5^{1/3}}$
Применяя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:
$\sqrt{5^{1 + 1/3}} = \sqrt{5^{4/3}}$
Теперь представим квадратный корень как степень $1/2$ и применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5^{4/3})^{1/2} = 5^{\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}} = 5^{\frac{4}{6}} = 5^{2/3}$
Теперь можем вычислить весь числитель:
$12 \cdot \sqrt[3]{5} \cdot 5^{2/3} = 12 \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{2/3} = 12 \cdot 5^{1/3 + 2/3} = 12 \cdot 5^{3/3} = 12 \cdot 5^1 = 60$

2. Упрощение знаменателя: $(\sqrt[4]{25} - 1)(\sqrt[4]{25} + 1)$
Знаменатель представляет собой произведение разности и суммы двух выражений, что соответствует формуле разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
В данном случае $a = \sqrt[4]{25}$ и $b = 1$.
$(\sqrt[4]{25})^2 - 1^2$
Упростим первый член:
$(\sqrt[4]{25})^2 = (25^{1/4})^2 = 25^{2/4} = 25^{1/2} = \sqrt{25} = 5$
Таким образом, знаменатель равен:
$5 - 1 = 4$

3. Итоговое вычисление
Разделим полученное значение числителя на значение знаменателя:
$\frac{60}{4} = 15$

Ответ: 15