Номер 20.4, страница 104 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.4. Представьте в виде корня выражение:

a) $\frac{\sqrt[3]{a^2 \sqrt[4]{a}}}{\sqrt[4]{a}}$;

б) $\frac{\sqrt[3]{a \sqrt[3]{a \sqrt[3]{a}}}}{\sqrt[9]{a^4}}$.

а) Чтобы представить данное выражение в виде корня, преобразуем все корни в степени с дробными показателями по формуле $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.

Сначала упростим числитель дроби $\sqrt[3]{a^2 \sqrt[4]{a}}$.

Выражение под кубическим корнем: $a^2 \sqrt[4]{a} = a^2 \cdot a^{\frac{1}{4}}$.

По свойству умножения степеней с одинаковым основанием ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$), сложим показатели:

$a^2 \cdot a^{\frac{1}{4}} = a^{2 + \frac{1}{4}} = a^{\frac{8}{4} + \frac{1}{4}} = a^{\frac{9}{4}}$.

Теперь числитель имеет вид $\sqrt[3]{a^{\frac{9}{4}}}$.

По свойству возведения степени в степень ($(x^m)^n = x^{mn}$), преобразуем корень в степень:

$(a^{\frac{9}{4}})^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{3}} = a^{\frac{9}{12}} = a^{\frac{3}{4}}$.

Знаменатель дроби $\sqrt[4]{a}$ равен $a^{\frac{1}{4}}$.

Теперь выполним деление числителя на знаменатель, используя свойство деления степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{a^{\frac{3}{4}}}{a^{\frac{1}{4}}} = a^{\frac{3}{4} - \frac{1}{4}} = a^{\frac{2}{4}} = a^{\frac{1}{2}}$.

Наконец, запишем результат в виде корня:

$a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$.

Ответ: $\sqrt{a}$.

б) Аналогично предыдущему пункту, преобразуем выражение в степени с дробными показателями.

Упростим числитель $\sqrt[3]{a \sqrt[3]{a \sqrt[3]{a}}}$, двигаясь от внутреннего корня к внешнему.

1. Самый внутренний корень: $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$.

2. Выражение под средним корнем: $a \sqrt[3]{a} = a^1 \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{1 + \frac{1}{3}} = a^{\frac{4}{3}}$.

3. Средний корень: $\sqrt[3]{a^{\frac{4}{3}}} = (a^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3}} = a^{\frac{4}{9}}$.

4. Выражение под внешним корнем: $a \cdot a^{\frac{4}{9}} = a^1 \cdot a^{\frac{4}{9}} = a^{1 + \frac{4}{9}} = a^{\frac{9}{9} + \frac{4}{9}} = a^{\frac{13}{9}}$.

5. Весь числитель: $\sqrt[3]{a^{\frac{13}{9}}} = (a^{\frac{13}{9}})^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{13}{9} \cdot \frac{1}{3}} = a^{\frac{13}{27}}$.

Знаменатель дроби $\sqrt[9]{a^4}$ равен $a^{\frac{4}{9}}$.

Теперь разделим полученный числитель на знаменатель:

$\frac{a^{\frac{13}{27}}}{a^{\frac{4}{9}}} = a^{\frac{13}{27} - \frac{4}{9}}$.

Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 27:

$\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{12}{27}$.

Вычтем показатели:

$a^{\frac{13}{27} - \frac{12}{27}} = a^{\frac{1}{27}}$.

Запишем итоговый результат в виде корня:

$a^{\frac{1}{27}} = \sqrt[27]{a}$.

Ответ: $\sqrt[27]{a}$.