Номер 20.2, страница 104 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.2. Внесите множитель под знак корня в выражении $(7 - m) \sqrt[6]{\frac{1}{m - 7}}$.

20.2. Чтобы внести множитель под знак корня в выражении $(7 - m)\sqrt[6]{\frac{1}{m - 7}}$, необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $m$, а затем учесть знак множителя перед корнем.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).
Корень в выражении имеет четную степень (6), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$\frac{1}{m - 7} \ge 0$
Поскольку числитель дроби равен 1 (положительное число), то для выполнения неравенства знаменатель также должен быть положительным (он не может быть равен нулю).
$m - 7 > 0$
$m > 7$
Таким образом, выражение определено при $m > 7$.

2. Определение знака множителя $(7 - m)$.
Из ОДЗ мы знаем, что $m > 7$. Это означает, что $m$ всегда больше 7. Следовательно, разность $7 - m$ всегда будет отрицательной.
Например, если $m=8$, то $7-8 = -1 < 0$.

3. Внесение множителя под знак корня.
Существует правило для внесения отрицательного множителя $a$ под корень четной степени $n$: если $a < 0$, то $a \sqrt[n]{b} = - \sqrt[n]{a^n b}$.
В нашем случае $a = 7 - m < 0$, $n=6$ (четная степень) и $b = \frac{1}{m-7}$. Применим это правило:
$(7 - m)\sqrt[6]{\frac{1}{m - 7}} = - \sqrt[6]{(7 - m)^6 \cdot \frac{1}{m - 7}}$

4. Упрощение подкоренного выражения.
Поскольку показатель степени 6 является четным, то $(7 - m)^6$ равносильно $(m - 7)^6$. Это позволяет нам упростить выражение:
$(7 - m)^6 = ((-1)(m-7))^6 = (-1)^6 (m-7)^6 = 1 \cdot (m-7)^6 = (m-7)^6$
Теперь подставим это обратно в подкоренное выражение:
$\sqrt[6]{(m - 7)^6 \cdot \frac{1}{m - 7}} = \sqrt[6]{\frac{(m - 7)^6}{m - 7}}$
Используя свойство степеней $\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$, получаем:
$\sqrt[6]{(m - 7)^{6-1}} = \sqrt[6]{(m - 7)^5}$

Собирая все вместе, получаем конечный результат. Не забываем про знак "минус", который остался перед корнем.
Ответ: $- \sqrt[6]{(m - 7)^5}$