Номер 3.1, страница 18 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3.1. Какой из графиков, изображенных на рисунках 21–24, может быть графиком функции: а) $y = |f(x)|$; б) $y = f(|x|)$?

Рис. 21

Рис. 22

Рис. 23

Рис. 24

а) Для функции вида $y = |f(x)|$ все значения $y$ должны быть неотрицательными ($y \ge 0$), поскольку модуль любого числа — это неотрицательная величина. Это означает, что весь график функции должен располагаться выше оси абсцисс ($Ox$) или на ней.

Рассмотрим представленные графики:

• Графики на рисунках 21, 22 и 24 имеют участки, где $y < 0$ (части графика находятся под осью $Ox$).
• График на рисунке 23 полностью расположен в верхней полуплоскости ($y \ge 0$ для всех $x$), касаясь оси в точке $x=2$.

Следовательно, только график на рисунке 23 может быть графиком функции $y = |f(x)|$.

Ответ: Рис. 23.

б) Функция вида $y = f(|x|)$ является четной. Свойство четной функции заключается в том, что ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$), так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(|-x|) = f(|x|)$.

Рассмотрим графики на предмет симметрии относительно оси $Oy$:

• Графики на рисунках 21 и 23 не симметричны относительно оси $Oy$.
• Графики на рисунках 22 и 24 симметричны относительно оси $Oy$.

Оба графика, 22 и 24, являются графиками четных функций. Однако график на рисунке 22 является классическим примером построения графика функции $y=f(|x|)$ из графика функции $y=f(x)$, не являющейся четной, путем сохранения части графика при $x \ge 0$ и ее симметричного отражения относительно оси $Oy$. График 24 является графиком изначально четной функции (типа косинуса), который не изменяется при данном преобразовании. В контексте изучения преобразований графиков, как правило, имеется в виду более наглядный и нетривиальный случай, представленный на рисунке 22.

Ответ: Рис. 22.