Номер 2.9, страница 13 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.9. Функция $y=f(x)$ имеет более одного нуля. Имеет ли она обратную функцию?

2.9. Для того чтобы функция $y = f(x)$ имела обратную функцию, она должна быть обратимой. Основным условием обратимости является инъективность (или взаимная однозначность) функции. Это означает, что каждому значению функции $y$ должно соответствовать только одно значение аргумента $x$. Говоря формально, для любых двух различных значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения функции ($x_1 \neq x_2$) их значения также должны быть различны ($f(x_1) \neq f(x_2)$).

В условии задачи сказано, что функция $y = f(x)$ имеет более одного нуля. Нуль функции — это такое значение аргумента $x$, при котором значение функции равно нулю ($f(x)=0$).

Если у функции более одного нуля, это означает, что существуют как минимум два различных значения аргумента, назовем их $x_1$ и $x_2$, такие что $x_1 \neq x_2$, но при этом значения функции для них одинаковы и равны нулю:

$f(x_1) = 0$

$f(x_2) = 0$

Таким образом, мы имеем $f(x_1) = f(x_2)$, хотя $x_1 \neq x_2$. Это прямо противоречит определению инъективности. Так как функция не является инъективной, она не является обратимой, и, следовательно, у нее не может быть обратной функции.

Например, функция $y = x^2 - 1$ имеет два нуля: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Поскольку $f(-1) = f(1) = 0$, эта функция не является инъективной и не имеет обратной на всей числовой оси.

Ответ: Нет, не имеет.