Номер 3.4, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3.4. Постройте график функции:

а) $y = |f(x)|$;

б) $y = f(|x|)$;

в) $y = |f(|x|)|$, если:

1) $f(x) = x^2 - 6x - 7$;

2) $f(x) = -x^2 - 6x + 5$.

Для построения графиков сначала проанализируем каждую исходную функцию, а затем применим к ней указанные преобразования.

Общие правила преобразования графика функции $y = f(x)$:

• a) $y = |f(x)|$: Часть графика $y=f(x)$, расположенная ниже оси абсцисс (Ox), симметрично отражается относительно этой оси. Остальная часть графика остается без изменений.
• б) $y = f(|x|)$: Часть графика $y=f(x)$, расположенная в правой полуплоскости и на оси ординат (при $x \ge 0$), остается без изменений. Эта же часть графика симметрично отражается относительно оси ординат (Oy) в левую полуплоскость. Часть исходного графика при $x < 0$ удаляется.
• в) $y = |f(|x|)|$: Выполняются последовательно два преобразования: сначала строится график $y = f(|x|)$, а затем к полученному графику применяется преобразование модуля, как в пункте а).

1) Для функции $f(x) = x^2 - 6x - 7$

Сначала исследуем исходную функцию. Это квадратичная функция, её график — парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен).

• Вершина параболы: $x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = 3$.
  $y_0 = f(3) = 3^2 - 6(3) - 7 = 9 - 18 - 7 = -16$.
  Координаты вершины: $(3, -16)$.
• Пересечение с осью Ox (нули функции): $x^2 - 6x - 7 = 0$.
  По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 7$.
• Пересечение с осью Oy: $f(0) = 0^2 - 6(0) - 7 = -7$. Точка $(0, -7)$.

а) $y = |f(x)| = |x^2 - 6x - 7|$: Ответ: Для построения графика нужно:

1. Построить параболу $y = x^2 - 6x - 7$ с вершиной в $(3, -16)$ и корнями $x = -1, x = 7$.
2. Часть параболы, находящуюся ниже оси Ox (на интервале $x \in (-1, 7)$), симметрично отразить относительно оси Ox.
3. Части параболы, находящиеся выше или на оси Ox (при $x \le -1$ и $x \ge 7$), оставить без изменений.

В результате вершина $(3, -16)$ перейдет в точку $(3, 16)$, а нули функции останутся на месте. График будет состоять из двух ветвей параболы, идущих вверх от точек $(-1, 0)$ и $(7, 0)$, и "перевернутого" участка параболы между этими точками.

б) $y = f(|x|) = |x|^2 - 6|x| - 7 = x^2 - 6|x| - 7$: Ответ: Для построения графика нужно:

1. Построить часть графика $y = x^2 - 6x - 7$ для $x \ge 0$. Эта часть параболы проходит через точки $(0, -7)$, $(3, -16)$ (вершина), $(7, 0)$.
2. Отразить построенную часть графика симметрично относительно оси Oy.

Полученный график будет симметричен относительно оси Oy. Он будет иметь две вершины: $(3, -16)$ и $(-3, -16)$. Пересечение с осью Oy в точке $(0, -7)$, а с осью Ox в точках $(-7, 0)$ и $(7, 0)$.

в) $y = |f(|x|)| = |x^2 - 6|x| - 7|$: Ответ: Для построения графика нужно:

1. Взять график функции $y = x^2 - 6|x| - 7$, построенный в предыдущем пункте.
2. Часть этого графика, расположенную ниже оси Ox (на интервале $x \in (-7, 7)$), симметрично отразить относительно оси Ox.
3. Части графика, находящиеся на оси Ox (точки $x=-7$ и $x=7$), оставить без изменений.

В результате получится график с вершинами в точках $(3, 16)$ и $(-3, 16)$. Точка $(0, -7)$ перейдет в $(0, 7)$. Нули функции $(-7, 0)$ и $(7, 0)$ останутся на месте. График будет иметь форму буквы "W" с закругленными нижними частями.

2) Для функции $f(x) = -x^2 - 6x + 5$

Исследуем исходную функцию. Это квадратичная функция, её график — парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен).

• Вершина параболы: $x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2 \cdot (-1)} = -3$.
  $y_0 = f(-3) = -(-3)^2 - 6(-3) + 5 = -9 + 18 + 5 = 14$.
  Координаты вершины: $(-3, 14)$.
• Пересечение с осью Ox (нули функции): $-x^2 - 6x + 5 = 0 \implies x^2 + 6x - 5 = 0$.
  $D = 6^2 - 4(1)(-5) = 36 + 20 = 56$.
  $x = \frac{-6 \pm \sqrt{56}}{2} = -3 \pm \sqrt{14}$.
  Корни: $x_1 = -3 - \sqrt{14} \approx -6.74$ и $x_2 = -3 + \sqrt{14} \approx 0.74$.
• Пересечение с осью Oy: $f(0) = -0^2 - 6(0) + 5 = 5$. Точка $(0, 5)$.

а) $y = |f(x)| = |-x^2 - 6x + 5|$: Ответ: Для построения графика нужно:

1. Построить параболу $y = -x^2 - 6x + 5$ с вершиной в $(-3, 14)$ и ветвями вниз.
2. Части параболы, находящиеся ниже оси Ox (при $x < -3 - \sqrt{14}$ и $x > -3 + \sqrt{14}$), симметрично отразить относительно оси Ox.
3. Часть параболы, находящуюся выше или на оси Ox (между корнями), оставить без изменений.

В результате получится график, у которого вершина $(-3, 14)$ сохранится, а ветви, уходившие в $-\infty$, будут отражены и устремятся в $+\infty$.

б) $y = f(|x|) = -|x|^2 - 6|x| + 5 = -x^2 - 6|x| + 5$: Ответ: Для построения графика нужно:

1. Построить часть графика $y = -x^2 - 6x + 5$ для $x \ge 0$. Эта часть проходит через точку $(0, 5)$ и пересекает ось Ox в точке $x = -3 + \sqrt{14}$.
2. Отразить построенную часть графика симметрично относительно оси Oy.

Полученный график будет симметричен относительно оси Oy, с точкой "излома" (максимумом) в $(0, 5)$. Ветви графика направлены вниз. Нули функции: $x = -3 + \sqrt{14}$ и $x = 3 - \sqrt{14}$.

в) $y = |f(|x|)| = |-x^2 - 6|x| + 5|$: Ответ: Для построения графика нужно:

1. Взять график функции $y = -x^2 - 6|x| + 5$, построенный в предыдущем пункте.
2. Части этого графика, расположенные ниже оси Ox (при $x > -3 + \sqrt{14}$ и $x < 3 - \sqrt{14}$), симметрично отразить относительно оси Ox.
3. Часть графика, находящуюся выше или на оси Ox (на интервале $[3 - \sqrt{14}, -3 + \sqrt{14}]$), оставить без изменений.

В результате получится график, у которого сохранится центральная "шапка" с вершиной в $(0, 5)$, а ветви, уходившие вниз, будут отражены от оси Ox и устремятся вверх.