Номер 2.4, страница 12 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.4. Найдите функцию, обратную линейной функции $y = f(x):$

а) $y = 4x - 1;$

б) $y = -x + 1;$

в) $y = 5x - 3;$

г) $y = 0,5x - 2;$

д) $y = -0,5x - 1;$

е) $y = -0,1x.$

Чтобы найти функцию, обратную данной линейной функции, необходимо в уравнении функции поменять местами переменные $x$ и $y$, а затем выразить $y$ через $x$.

а) Дана функция $y = 4x - 1$.

Поменяем местами переменные $x$ и $y$:

$x = 4y - 1$

Теперь выразим $y$ из этого уравнения:

$4y = x + 1$

$y = \frac{x + 1}{4}$

Представим результат в стандартном виде $y = kx + b$:

$y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}$

Ответ: $y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}$

б) Рассмотрим функцию $y = -x + 1$.

Поменяем местами $x$ и $y$:

$x = -y + 1$

Выразим $y$:

$y = -x + 1$

В данном случае функция является обратной самой себе.

Ответ: $y = -x + 1$

в) Для функции $y = 5x - 3$ найдем обратную.

Меняем местами $x$ и $y$:

$x = 5y - 3$

Выражаем $y$:

$5y = x + 3$

$y = \frac{x + 3}{5}$

В стандартном виде:

$y = \frac{1}{5}x + \frac{3}{5}$

Ответ: $y = \frac{1}{5}x + \frac{3}{5}$

г) Исходная функция $y = 0.5x - 2$.

Меняем местами $x$ и $y$:

$x = 0.5y - 2$

Выражаем $y$:

$0.5y = x + 2$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим обе части на 2:

$y = 2(x + 2)$

$y = 2x + 4$

Ответ: $y = 2x + 4$

д) Дана функция $y = -0.5x - 1$.

Меняем местами $x$ и $y$:

$x = -0.5y - 1$

Выражаем $y$:

$-0.5y = x + 1$

Умножим обе части на -2:

$y = -2(x + 1)$

$y = -2x - 2$

Ответ: $y = -2x - 2$

е) Для функции $y = -0.1x$.

Меняем местами $x$ и $y$:

$x = -0.1y$

Выражаем $y$:

$y = \frac{x}{-0.1}$

$y = -10x$

Ответ: $y = -10x$