Номер 2.3, страница 12 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.3. На рисунке 9 изображен график обратимой функции $y = f(x)$. Найдите значения обратной к ней функции при значениях аргумента, равных:

а) 2; 0; 1; -1;

б) 0; -1; 2; 3.

Укажите область определения и множество значений обратной функции.

Рис. 9

Для нахождения значения обратной функции $g(y_0)$ для данной функции $y=f(x)$ по её графику, необходимо найти такое значение аргумента $x_0$, при котором $f(x_0)=y_0$. Другими словами, мы ищем на оси ординат (ось $y$) заданное значение аргумента обратной функции, проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком и определяем соответствующую этой точке абсциссу (координату $x$).

Область определения обратной функции $D(g)$ совпадает с множеством значений исходной функции $E(f)$, а множество значений обратной функции $E(g)$ совпадает с областью определения исходной функции $D(f)$.

a)

Найдём значения обратной функции для аргументов 2; 0; 1; -1, используя график функции $y=f(x)$:

• Чтобы найти значение обратной функции при аргументе 2, ищем $x$, для которого $f(x)=2$. По графику видим, что это $x=-4$.
• Чтобы найти значение обратной функции при аргументе 0, ищем $x$, для которого $f(x)=0$. По графику видим, что это $x=2$.
• Чтобы найти значение обратной функции при аргументе 1, ищем $x$, для которого $f(x)=1$. По графику видим, что это $x=-1$.
• Чтобы найти значение обратной функции при аргументе -1, ищем $x$, для которого $f(x)=-1$. По графику видим, что это $x=4$.

Определим область определения и множество значений исходной функции $f(x)$ по графику:

• Область определения $D(f)$: график продолжается влево до бесконечности и заканчивается в точке с абсциссой 4. Таким образом, $D(f) = (-\infty, 4]$.
• Множество значений $E(f)$: график начинается снизу от значения -1 и продолжается вверх до бесконечности. Таким образом, $E(f) = [-1, +\infty)$.

Следовательно, для обратной функции:

• Область определения: $D(g) = E(f) = [-1, +\infty)$.
• Множество значений: $E(g) = D(f) = (-\infty, 4]$.

Ответ: Значения обратной функции при аргументах 2; 0; 1; -1 равны соответственно -4; 2; -1; 4. Область определения обратной функции: $D(g) = [-1, +\infty)$, множество значений обратной функции: $E(g) = (-\infty, 4]$.

б)

Найдём значения обратной функции для аргументов 0; -1; 2; 3, используя график функции $y=f(x)$:

• Чтобы найти значение обратной функции при аргументе 0, ищем $x$, для которого $f(x)=0$. По графику видим, что это $x=4$.
• Чтобы найти значение обратной функции при аргументе -1, ищем $x$, для которого $f(x)=-1$. По графику видим, что это $x=2$.
• Чтобы найти значение обратной функции при аргументе 2, ищем $x$, для которого $f(x)=2$. По графику видим, что это $x=8$.
• Чтобы найти значение обратной функции при аргументе 3, ищем $x$, для которого $f(x)=3$. По графику видим, что это $x=9$.

Определим область определения и множество значений исходной функции $f(x)$ по графику:

• Область определения $D(f)$: график начинается в точке с абсциссой -1 и продолжается вправо до бесконечности. Таким образом, $D(f) = [-1, +\infty)$.
• Множество значений $E(f)$: график начинается снизу от значения -2 и продолжается вверх до бесконечности. Таким образом, $E(f) = [-2, +\infty)$.

Следовательно, для обратной функции:

• Область определения: $D(g) = E(f) = [-2, +\infty)$.
• Множество значений: $E(g) = D(f) = [-1, +\infty)$.

Ответ: Значения обратной функции при аргументах 0; -1; 2; 3 равны соответственно 4; 2; 8; 9. Область определения обратной функции: $D(g) = [-2, +\infty)$, множество значений обратной функции: $E(g) = [-1, +\infty]$.