Номер 2.5, страница 12 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.5. Приведите примеры графиков двух взаимно обратных функций

$y=f(x)$ и $y=g(x)$ таких, что $f(2)=3; g(-2)=1.$

Для решения этой задачи воспользуемся ключевыми свойствами взаимно обратных функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$:

1. Если точка $(a, b)$ принадлежит графику функции $f(x)$, то точка $(b, a)$ принадлежит графику обратной ей функции $g(x)$. И наоборот.
2. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Проанализируем заданные условия:

• Условие $f(2) = 3$ означает, что точка $A(2, 3)$ лежит на графике функции $y=f(x)$. Следовательно, точка $A'(3, 2)$ должна лежать на графике обратной функции $y=g(x)$.
• Условие $g(-2) = 1$ означает, что точка $B'(-2, 1)$ лежит на графике функции $y=g(x)$. Следовательно, точка $B(1, -2)$ должна лежать на графике исходной функции $y=f(x)$.

Таким образом, нам нужно построить график функции $y=f(x)$, проходящий через точки $A(2, 3)$ и $B(1, -2)$, и график функции $y=g(x)$, проходящий через точки $A'(3, 2)$ и $B'(-2, 1)$.

Самый простой пример таких функций — это линейные функции (их графики — прямые). Найдем уравнение прямой $y=f(x)$, проходящей через точки $A(2, 3)$ и $B(1, -2)$.

Угловой коэффициент (тангенс угла наклона) $k$ равен:

$k = \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \frac{3 - (-2)}{2 - 1} = \frac{5}{1} = 5$

Используя уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту $y - y_0 = k(x - x_0)$ с точкой $A(2, 3)$:

$y - 3 = 5(x - 2)$

$y - 3 = 5x - 10$

$y = 5x - 7$

Итак, один из возможных примеров функции — это $f(x) = 5x - 7$.

Теперь найдем обратную ей функцию $g(x)$. Для этого в уравнении $y = 5x - 7$ поменяем местами $x$ и $y$ и выразим новый $y$:

$x = 5y - 7$

$5y = x + 7$

$y = \frac{x + 7}{5}$ или $y = \frac{1}{5}x + \frac{7}{5}$

Итак, обратная функция — это $g(x) = \frac{1}{5}x + \frac{7}{5}$.

Проверим, выполняются ли исходные условия:

• $f(2) = 5 \cdot 2 - 7 = 10 - 7 = 3$. (Верно)
• $g(-2) = \frac{1}{5}(-2) + \frac{7}{5} = -\frac{2}{5} + \frac{7}{5} = \frac{5}{5} = 1$. (Верно)

Примеры графиков: Ответ:

Примером могут служить графики двух линейных функций:

1. График функции $f(x) = 5x - 7$. Это прямая, проходящая через точки $(2, 3)$ и $(1, -2)$.

2. График функции $g(x) = \frac{1}{5}x + \frac{7}{5}$. Это прямая, проходящая через точки $(3, 2)$ и $(-2, 1)$. В уравнении этой функции свободный член $\frac{7}{5}$ является неправильной дробью. Если представить ее в виде смешанной дроби $1\frac{2}{5}$, то ее целая часть равна 1.

Эти два графика являются прямыми линиями, симметричными друг другу относительно прямой $y=x$.