Номер 2.7, страница 13 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.7. Функция $y = f(x)$ задана графиком (рис. 10). Постройте график обратной к ней функции.

a) $y = f(x)$

б) $y = f(x)$

Рис. 10

График функции, обратной к функции $y = f(x)$, симметричен графику исходной функции относительно прямой $y = x$. Чтобы построить график обратной функции, нужно для каждой точки $(x, y)$ на исходном графике построить точку $(y, x)$. На практике достаточно найти координаты нескольких ключевых точек (концы отрезков и точки излома) на графике $y=f(x)$ и поменять в них местами координаты $x$ и $y$. Затем соединить полученные точки в том же порядке.

Проанализируем график функции $y = f(x)$, представленный на рисунке 10a. Это ломаная линия, состоящая из двух отрезков. Определим координаты ее ключевых точек:

• Начало первого отрезка: $(-2, -2)$
• Точка излома (конец первого и начало второго отрезка): $(-1, 0)$
• Конец второго отрезка: $(4, 3)$

Теперь найдем соответствующие точки для графика обратной функции, поменяв местами координаты $x$ и $y$:

• Точка, соответствующая $(-2, -2)$: $(-2, -2)$
• Точка, соответствующая $(-1, 0)$: $(0, -1)$
• Точка, соответствующая $(4, 3)$: $(3, 4)$

Соединив эти новые точки отрезками, мы получим график обратной функции. Это будет ломаная линия, проходящая через точки $(-2, -2)$, $(0, -1)$ и $(3, 4)$.

Найдем уравнения для каждого участка обратной функции.
Для участка, проходящего через точки $(-2, -2)$ и $(0, -1)$, уравнение прямой:
$\frac{y - (-2)}{x - (-2)} = \frac{-1 - (-2)}{0 - (-2)} \Rightarrow \frac{y+2}{x+2} = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{1}{2}x - 1$
Для участка, проходящего через точки $(0, -1)$ и $(3, 4)$, уравнение прямой:
$\frac{y - (-1)}{x - 0} = \frac{4 - (-1)}{3 - 0} \Rightarrow \frac{y+1}{x} = \frac{5}{3} \Rightarrow y = \frac{5}{3}x - 1 = \mathbf{1}\frac{2}{3}x - 1$

Ответ: График обратной функции — это ломаная, состоящая из двух отрезков, соединяющих последовательно точки с координатами $(-2, -2)$, $(0, -1)$ и $(3, 4)$.

Рассмотрим график функции $y = f(x)$, представленный на рисунке 10б. Это также ломаная линия. Определим координаты ее ключевых точек:

• Начало первого отрезка: $(-1, 4)$
• Точка излома: $(0, 1)$
• Конец второго отрезка: $(3, -2)$

Найдем соответствующие точки для графика обратной функции, поменяв местами координаты $x$ и $y$:

• Точка, соответствующая $(-1, 4)$: $(4, -1)$
• Точка, соответствующая $(0, 1)$: $(1, 0)$
• Точка, соответствующая $(3, -2)$: $(-2, 3)$

Соединив эти новые точки отрезками в правильном порядке (от $(-2, 3)$ к $(1, 0)$ и затем к $(4, -1)$), мы получим график обратной функции. Это будет ломаная линия, проходящая через точки $(-2, 3)$, $(1, 0)$ и $(4, -1)$.

Найдем уравнения для каждого участка обратной функции.
Для участка, проходящего через точки $(-2, 3)$ и $(1, 0)$, уравнение прямой:
$\frac{y - 3}{x - (-2)} = \frac{0 - 3}{1 - (-2)} \Rightarrow \frac{y-3}{x+2} = \frac{-3}{3} = -1 \Rightarrow y = -x + 1$
Для участка, проходящего через точки $(1, 0)$ и $(4, -1)$, уравнение прямой:
$\frac{y - 0}{x - 1} = \frac{-1 - 0}{4 - 1} \Rightarrow \frac{y}{x-1} = \frac{-1}{3} \Rightarrow y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$

Ответ: График обратной функции — это ломаная, состоящая из двух отрезков, соединяющих последовательно точки с координатами $(-2, 3)$, $(1, 0)$ и $(4, -1)$.