Номер 3.5, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3.5. Постройте график функции:

a) $y = |\sqrt{x} - 4|;$

б) $y = \sqrt{|x|} - 4;$

в) $y = |\sqrt{|x|} - 4|.$

Для построения графиков данных функций мы будем использовать метод преобразования графиков, исходя из базовой функции $y=\sqrt{x}$.

Построение этого графика можно разбить на следующие этапы:

1. Сначала строим график базовой функции $y_1 = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, выходящая из начала координат $(0,0)$ и расположенная в первой координатной четверти. Область определения этой функции $x \ge 0$.
2. Далее строим график функции $y_2 = \sqrt{x} - 4$. Этот график получается из графика $y_1 = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на 4 единицы вниз. Начальная точка графика смещается из $(0,0)$ в $(0,-4)$. График пересекает ось $Ox$ в точке, где $y_2=0$, то есть $\sqrt{x}-4=0$, откуда $\sqrt{x}=4$ и $x=16$. Точка пересечения — $(16,0)$.
3. Наконец, строим итоговый график $y = |\sqrt{x} - 4|$. Этот график получается из графика $y_2 = \sqrt{x} - 4$ следующим образом: часть графика, которая лежит выше или на оси $Ox$ (при $x \ge 16$), остается без изменений. Часть графика, которая лежит ниже оси $Ox$ (при $0 \le x < 16$), симметрично отражается относительно оси $Ox$. Таким образом, точка $(0,-4)$ переходит в точку $(0,4)$, а точка $(16,0)$ остается на месте, становясь точкой излома.

Ответ: График функции начинается в точке $(0,4)$, убывает до точки $(16,0)$, где образуется излом, а затем возрастает. Весь график расположен в первой координатной четверти.

Построение этого графика также выполняется поэтапно:

1. Сначала рассмотрим функцию $y_1 = \sqrt{|x|}$. Эта функция является четной, так как $y(-x) = \sqrt{|-x|} = \sqrt{|x|} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси $Oy$.
   • При $x \ge 0$, имеем $|x|=x$, поэтому $y_1 = \sqrt{x}$. Это уже знакомая нам ветвь параболы в первой четверти.
   • При $x < 0$, мы отражаем построенную часть графика ($y=\sqrt{x}$ для $x > 0$) симметрично относительно оси $Oy$.
   Таким образом, график $y_1 = \sqrt{|x|}$ состоит из двух ветвей, выходящих из точки $(0,0)$ и идущих в первую и вторую координатные четверти.
2. Теперь строим итоговый график $y = \sqrt{|x|} - 4$. Он получается из графика $y_1 = \sqrt{|x|}$ путем параллельного переноса вдоль оси $Oy$ на 4 единицы вниз. Точка $(0,0)$ смещается в точку $(0,-4)$, которая является вершиной графика.

Точки пересечения с осью $Ox$ найдем из уравнения $\sqrt{|x|} - 4 = 0$, откуда $\sqrt{|x|} = 4$, $|x|=16$, то есть $x=16$ и $x=-16$. Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), область значений — $y \ge -4$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси $Oy$, его вершина находится в точке $(0,-4)$. График пересекает ось $Ox$ в точках $(-16,0)$ и $(16,0)$.

Этот график можно построить, используя результат из пункта б).

1. Берем за основу график функции $y_1 = \sqrt{|x|} - 4$, построенный в предыдущем пункте. Он симметричен относительно оси $Oy$, с вершиной в $(0,-4)$ и пересечениями с осью $Ox$ в точках $(-16,0)$ и $(16,0)$.
2. Применяем операцию взятия модуля ко всей функции: $y = |y_1| = |\sqrt{|x|} - 4|$. Это означает, что все части графика $y_1$, расположенные ниже оси $Ox$, должны быть симметрично отражены относительно этой оси, а части, расположенные выше или на оси, остаются без изменений.
3. Часть графика $y_1 = \sqrt{|x|} - 4$, находящаяся между точками $x=-16$ и $x=16$, лежит ниже оси $Ox$. Мы отражаем эту часть относительно оси $Ox$. При этом вершина $(0,-4)$ переходит в точку $(0,4)$, которая становится локальным максимумом. Точки $(-16,0)$ и $(16,0)$ остаются на месте и становятся точками излома графика.

Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), область значений — $y \ge 0$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси $Oy$ и расположен не ниже оси $Ox$. Он имеет форму, напоминающую букву "W" с закругленным центральным пиком в точке $(0,4)$ и двумя точками излома на оси $Ox$: $(-16,0)$ и $(16,0)$.