Номер 2.6, страница 13 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.6. Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней:

а) $y = -3x + 1$;

б) $y = \sqrt{x - 4}$.

а) $y = -3x + 1$

Для нахождения функции, обратной данной, необходимо в исходном уравнении $y = -3x + 1$ поменять местами переменные $x$ и $y$, а затем из полученного уравнения выразить $y$.

1. Исходная функция: $y = -3x + 1$.
2. Меняем местами $x$ и $y$: $x = -3y + 1$.
3. Выражаем $y$ из нового уравнения:

   $3y = 1 - x$

   $y = \frac{1 - x}{3}$

   $y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$

Таким образом, обратная функция имеет вид: $y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$.

Графиком как исходной, так и обратной функции является прямая линия. Для построения каждой прямой достаточно найти координаты двух точек. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Точки для построения графика $y = -3x + 1$:

• Если $x = 0$, то $y = -3 \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0; 1)$.
• Если $x = 1$, то $y = -3 \cdot 1 + 1 = -2$. Получаем точку $(1; -2)$.

Точки для построения графика обратной функции $y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$:

• Если $x = 1$, то $y = -\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} = 0$. Получаем точку $(1; 0)$.
• Если $x = -2$, то $y = -\frac{1}{3} \cdot (-2) + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$. Получаем точку $(-2; 1)$.

Построив точки и соединив их, получим два графика, симметричных относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$.

б) $y = \sqrt{x - 4}$

Чтобы найти обратную функцию, сначала определим область определения и область значений исходной функции.

• Область определения $D(y)$: Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 4 \ge 0 \implies x \ge 4$. Таким образом, $D(y) = [4; +\infty)$.
• Область значений $E(y)$: Значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно: $y \ge 0$. Таким образом, $E(y) = [0; +\infty)$.

Теперь найдем обратную функцию, поменяв $x$ и $y$ местами и выразив $y$.

Исходная функция: $y = \sqrt{x - 4}$.

Меняем местами $x$ и $y$: $x = \sqrt{y - 4}$.

Для обратной функции область определения будет $x \ge 0$ (область значений исходной), а область значений $y \ge 4$ (область определения исходной).

Выразим $y$ из уравнения $x = \sqrt{y - 4}$, учитывая, что $x \ge 0$:

Возводим обе части в квадрат:

$x^2 = (\sqrt{y - 4})^2$

$x^2 = y - 4$

$y = x^2 + 4$

Итак, обратная функция: $y = x^2 + 4$, определенная при $x \ge 0$.

График исходной функции $y = \sqrt{x - 4}$ — это верхняя ветвь параболы, смещенная на 4 единицы вправо. График обратной функции $y = x^2 + 4$ (при $x \ge 0$) — это правая ветвь параболы, смещенной на 4 единицы вверх.

Точки для построения графика $y = \sqrt{x - 4}$:

• Если $x = 4$, то $y = \sqrt{4-4} = 0$. Точка $(4; 0)$.
• Если $x = 5$, то $y = \sqrt{5-4} = 1$. Точка $(5; 1)$.
• Если $x = 8$, то $y = \sqrt{8-4} = 2$. Точка $(8; 2)$.

Точки для построения графика $y = x^2 + 4$ (при $x \ge 0$):

• Если $x = 0$, то $y = 0^2+4 = 4$. Точка $(0; 4)$.
• Если $x = 1$, то $y = 1^2+4 = 5$. Точка $(1; 5)$.
• Если $x = 2$, то $y = 2^2+4 = 8$. Точка $(2; 8)$.

Построив эти два графика в одной системе координат, мы увидим их симметрию относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = x^2 + 4$, при $x \ge 0$.