Номер 5, страница 187 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5. Упростите выражение $ \frac{\sqrt{3} \sin \alpha + 2\cos(60^\circ + \alpha)}{2\sin(60^\circ + \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha} $

а) $ \text{ctg}\alpha; $

б) $ \sin\alpha; $

в) $ 1; $

г) $ \cos\alpha; $

д) $ \text{tg}\alpha. $

Для упрощения данного выражения необходимо использовать формулы сложения для синуса и косинуса, а также значения тригонометрических функций для угла $60^\circ$.

Необходимые формулы и значения:

• Формула косинуса суммы: $ \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
• Формула синуса суммы: $ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
• Значения для $60^\circ$: $ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $, $ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

1. Упрощение числителя: $ \sqrt{3} \sin \alpha + 2\cos(60^\circ + \alpha) $

Сначала раскроем $ \cos(60^\circ + \alpha) $, используя формулу косинуса суммы:

$$ \cos(60^\circ + \alpha) = \cos(60^\circ)\cos\alpha - \sin(60^\circ)\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $$

Теперь подставим это выражение в числитель исходной дроби:

$$ \sqrt{3} \sin \alpha + 2\left(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) = \sqrt{3} \sin \alpha + \cos\alpha - \sqrt{3}\sin\alpha $$

После приведения подобных слагаемых ($ \sqrt{3} \sin \alpha $ и $ -\sqrt{3}\sin\alpha $ взаимно уничтожаются) получаем:

$$ \cos\alpha $$

2. Упрощение знаменателя: $ 2\sin(60^\circ + \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha $

Раскроем $ \sin(60^\circ + \alpha) $, используя формулу синуса суммы:

$$ \sin(60^\circ + \alpha) = \sin(60^\circ)\cos\alpha + \cos(60^\circ)\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha $$

Подставим полученное выражение в знаменатель:

$$ 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha\right) - \sqrt{3} \cos \alpha = \sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha - \sqrt{3} \cos \alpha $$

После приведения подобных слагаемых ($ \sqrt{3}\cos\alpha $ и $ -\sqrt{3} \cos \alpha $ взаимно уничтожаются) получаем:

$$ \sin\alpha $$

3. Итоговое выражение

Теперь, когда мы упростили числитель и знаменатель, подставим их обратно в исходную дробь:

$$ \frac{\text{упрощенный числитель}}{\text{упрощенный знаменатель}} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $$

По определению, отношение косинуса к синусу является котангенсом:

$$ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \text{ctg}\,\alpha $$

а) ctgα; Ответ: $\text{ctg}\,\alpha$