Номер 6, страница 187 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6. Вычислите: $\sin^4 \frac{23\pi}{12} - \cos^4 \frac{13\pi}{12}$.

a) $-\frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $\sqrt{3}$;

д) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Для решения данного выражения $sin^4 \frac{23\pi}{12} - cos^4 \frac{13\pi}{12}$ необходимо выполнить следующие шаги: упростить аргументы тригонометрических функций с помощью формул приведения, применить формулу разности квадратов и использовать основные тригонометрические тождества.

1. Упрощение аргументов тригонометрических функций.

Приведем углы к более простым значениям в пределах первого круга.

• Упростим первый член выражения $sin^4 \frac{23\pi}{12}$.
  Представим угол $\frac{23\pi}{12}$ в виде разности: $\frac{23\pi}{12} = \frac{24\pi - \pi}{12} = 2\pi - \frac{\pi}{12}$.
  Используя формулу приведения $sin(2\pi - \alpha) = -sin(\alpha)$, получаем:
  $sin(\frac{23\pi}{12}) = sin(2\pi - \frac{\pi}{12}) = -sin(\frac{\pi}{12})$.
  Возводя в четвертую степень, получаем:
  $sin^4(\frac{23\pi}{12}) = (-sin(\frac{\pi}{12}))^4 = sin^4(\frac{\pi}{12})$.
• Упростим второй член выражения $cos^4 \frac{13\pi}{12}$.
  Представим угол $\frac{13\pi}{12}$ в виде суммы: $\frac{13\pi}{12} = \frac{12\pi + \pi}{12} = \pi + \frac{\pi}{12}$.
  Используя формулу приведения $cos(\pi + \alpha) = -cos(\alpha)$, получаем:
  $cos(\frac{13\pi}{12}) = cos(\pi + \frac{\pi}{12}) = -cos(\frac{\pi}{12})$.
  Возводя в четвертую степень, получаем:
  $cos^4(\frac{13\pi}{12}) = (-cos(\frac{\pi}{12}))^4 = cos^4(\frac{\pi}{12})$.

2. Подстановка и упрощение выражения.

После упрощения аргументов исходное выражение принимает вид:

$sin^4(\frac{\pi}{12}) - cos^4(\frac{\pi}{12})$

Применим формулу разности квадратов $a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$:

$(sin^2(\frac{\pi}{12}) - cos^2(\frac{\pi}{12}))(sin^2(\frac{\pi}{12}) + cos^2(\frac{\pi}{12}))$

3. Применение тригонометрических тождеств.

Теперь воспользуемся двумя известными тригонометрическими тождествами:

• Основное тригонометрическое тождество: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.
  Применительно к нашему выражению: $sin^2(\frac{\pi}{12}) + cos^2(\frac{\pi}{12}) = 1$.
• Формула косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha)$.
  Отсюда $sin^2(\alpha) - cos^2(\alpha) = -cos(2\alpha)$.
  Применительно к нашему выражению: $sin^2(\frac{\pi}{12}) - cos^2(\frac{\pi}{12}) = -cos(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = -cos(\frac{\pi}{6})$.

Подставим полученные значения обратно в разложенное на множители выражение:

$(-cos(\frac{\pi}{6})) \cdot 1 = -cos(\frac{\pi}{6})$

4. Вычисление конечного значения.

Значение $cos(\frac{\pi}{6})$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, итоговое значение выражения:

$-cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Полученный результат соответствует варианту ответа д).

Ответ: д) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$