Номер 8, страница 188 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8. Найдите значение выражения

$\frac{1}{\sin10^\circ} - \frac{\sqrt{3}}{\cos10^\circ}$

а) $\sqrt{3}$;

б) $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) 2;

д) 4.

Для нахождения значения выражения выполним следующие шаги:

1. Приведем дроби к общему знаменателю.

   Исходное выражение: $ \frac{1}{\sin10^\circ} - \frac{\sqrt{3}}{\cos10^\circ} $

   Общий знаменатель для дробей — это произведение их знаменателей: $ \sin10^\circ \cos10^\circ $.

   Приводим дроби к общему знаменателю, домножая числитель и знаменатель первой дроби на $ \cos10^\circ $, а второй — на $ \sin10^\circ $: $ \frac{1 \cdot \cos10^\circ}{\sin10^\circ \cos10^\circ} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sin10^\circ}{\sin10^\circ \cos10^\circ} = \frac{\cos10^\circ - \sqrt{3}\sin10^\circ}{\sin10^\circ \cos10^\circ} $

2. Преобразуем числитель и знаменатель с помощью тригонометрических формул.

   Знаменатель: Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha $. Из этой формулы следует, что $ \sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $. В нашем случае $ \alpha = 10^\circ $, поэтому знаменатель преобразуется следующим образом: $ \sin10^\circ \cos10^\circ = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 10^\circ) = \frac{1}{2}\sin20^\circ $.

   Числитель: $ \cos10^\circ - \sqrt{3}\sin10^\circ $. Для преобразования этого выражения вынесем за скобки множитель 2. Этот прием (введение вспомогательного угла) используется для выражений вида $ a\cos x + b\sin x $, где выносится множитель $ \sqrt{a^2+b^2} $. В нашем случае $ a=1, b=-\sqrt{3} $, поэтому $ \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2 $. $ 2 \left( \frac{1}{2}\cos10^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin10^\circ \right) $

   Теперь заметим, что $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ являются значениями синуса и косинуса известных углов. Мы можем представить их как $ \frac{1}{2} = \sin30^\circ $ и $ \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos30^\circ $. Подставим эти значения в выражение: $ 2 (\sin30^\circ \cos10^\circ - \cos30^\circ \sin10^\circ) $

   Полученное выражение в скобках соответствует формуле синуса разности углов $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $. Здесь $ \alpha = 30^\circ $ и $ \beta = 10^\circ $, значит числитель равен: $ 2 \sin(30^\circ - 10^\circ) = 2\sin20^\circ $

3. Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь и вычислим результат.

   $ \frac{\cos10^\circ - \sqrt{3}\sin10^\circ}{\sin10^\circ \cos10^\circ} = \frac{2\sin20^\circ}{\frac{1}{2}\sin20^\circ} $

   Сокращаем $ \sin20^\circ $ в числителе и знаменателе (это возможно, так как $ \sin20^\circ \ne 0 $): $ \frac{2}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{2}{1} = 4 $

Таким образом, значение исходного выражения равно 4. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это соответствует варианту "д".

Ответ: д) 4.