Номер 4, страница 165 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.4. Метровую ленту случайным образом разрезают ножницами. Найдите вероятность того, что длина отрезанного куска ленты составит не менее 80 см.

Для решения данной задачи используется понятие геометрической вероятности.

Представим метровую ленту в виде числового отрезка длиной 100 см. Пусть это будет отрезок $[0, 100]$. "Случайным образом разрезают" означает, что точка разреза $x$ может с равной вероятностью оказаться в любом месте этого отрезка. Таким образом, $x$ — это случайная величина, равномерно распределенная на отрезке $[0, 100]$.

Когда ленту разрезают в точке $x$, образуются два куска. Длина одного куска равна $x$, а длина второго — $(100 - x)$.

Нас интересует событие, при котором длина отрезанного куска составит не менее 80 см. Поскольку после разреза образуется два куска, это условие означает, что длина хотя бы одного из этих двух кусков должна быть не менее 80 см. Это можно записать в виде двух неравенств: $$ \text{Длина первого куска} \ge 80 \quad \text{или} \quad \text{Длина второго куска} \ge 80 $$ Используя переменную $x$, получаем: $$ x \ge 80 \quad \text{или} \quad 100 - x \ge 80 $$

Теперь найдем, каким значениям $x$ соответствуют эти условия:

• Условие $x \ge 80$ означает, что точка разреза должна находиться на отрезке $[80, 100]$. Длина этого отрезка (благоприятного исхода) составляет $100 - 80 = 20$ см.
• Условие $100 - x \ge 80$ эквивалентно неравенству $x \le 100 - 80$, то есть $x \le 20$. Это означает, что точка разреза должна находиться на отрезке $[0, 20]$. Длина этого отрезка также составляет $20 - 0 = 20$ см.

Событие произойдет, если точка разреза попадет в один из этих двух отрезков: $[0, 20]$ или $[80, 100]$. Так как эти отрезки не пересекаются, общая длина благоприятных для нас положений точки разреза равна сумме их длин: $$ L_{благоприятная} = 20 \text{ см} + 20 \text{ см} = 40 \text{ см} $$

Общая длина всех возможных положений точки разреза равна длине всей ленты: $$ L_{общая} = 100 \text{ см} $$

Вероятность $P$ искомого события равна отношению длины благоприятных исходов к общей длине всех возможных исходов: $$ P = \frac{L_{благоприятная}}{L_{общая}} = \frac{40}{100} = 0,4 $$

Ответ: 0,4.