Номер 5, страница 52 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.5. Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

а)$ \frac{\log_{\sqrt{7}} 14 - \frac{1}{3}\log_{\sqrt{7}} 56}{\log_{\sqrt{6}} 30 - \frac{1}{2}\log_{\sqrt{6}} 150} $

б)$ \frac{2\log_{\pi} 2 + \log_{\pi} \sqrt{10}}{\log_{\pi} 10 - \log_{\pi} \sqrt{10} + \log_{\pi} 4} $

a) Для решения задачи необходимо упростить числитель и знаменатель дроби, используя свойства логарифмов.

Сначала преобразуем числитель:

$\log_{\sqrt{7}} 14 - \frac{1}{3}\log_{\sqrt{7}} 56$

Используем свойство $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$:

$\log_{\sqrt{7}} 14 - \log_{\sqrt{7}} 56^{\frac{1}{3}} = \log_{\sqrt{7}} 14 - \log_{\sqrt{7}} \sqrt[3]{56}$

Теперь используем свойство $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:

$\log_{\sqrt{7}} \left( \frac{14}{\sqrt[3]{56}} \right)$

Упростим выражение в скобках:

$\frac{14}{\sqrt[3]{56}} = \frac{14}{\sqrt[3]{8 \cdot 7}} = \frac{14}{2\sqrt[3]{7}} = \frac{7}{7^{\frac{1}{3}}} = 7^{1-\frac{1}{3}} = 7^{\frac{2}{3}}$

Подставим результат обратно в логарифм и вычислим его, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ или $\log_{a^k} a^m = \frac{m}{k}$:

$\log_{\sqrt{7}} (7^{\frac{2}{3}}) = \log_{7^{\frac{1}{2}}} (7^{\frac{2}{3}}) = \frac{2/3}{1/2} = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3}$

Теперь преобразуем знаменатель:

$\log_{\sqrt{6}} 30 - \frac{1}{2}\log_{\sqrt{6}} 150$

Аналогично числителю, используем свойства логарифмов:

$\log_{\sqrt{6}} 30 - \log_{\sqrt{6}} 150^{\frac{1}{2}} = \log_{\sqrt{6}} \left( \frac{30}{\sqrt{150}} \right)$

Упростим выражение в скобках:

$\frac{30}{\sqrt{150}} = \frac{30}{\sqrt{25 \cdot 6}} = \frac{30}{5\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$

Подставим результат обратно в логарифм:

$\log_{\sqrt{6}} (\sqrt{6}) = 1$

Теперь найдем значение всего выражения, разделив результат числителя на результат знаменателя:

$\frac{4/3}{1} = \frac{4}{3}$

Число $\frac{4}{3}$ является рациональным, так как оно представлено в виде отношения двух целых чисел. Выделим целую часть: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.

Ответ: значение выражения равно 1$\frac{1}{3}$, это рациональное число.

б) Упростим данное выражение, используя свойства логарифмов.

Преобразуем числитель, используя свойства $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$2\log_{\pi} 2 + \log_{\pi} \sqrt{10} = \log_{\pi} 2^2 + \log_{\pi} \sqrt{10} = \log_{\pi} 4 + \log_{\pi} \sqrt{10} = \log_{\pi}(4\sqrt{10})$

Преобразуем знаменатель, используя свойства $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_{\pi} 10 - \log_{\pi} \sqrt{10} + \log_{\pi} 4 = \log_{\pi}\left(\frac{10}{\sqrt{10}}\right) + \log_{\pi} 4 = \log_{\pi}(\sqrt{10}) + \log_{\pi} 4 = \log_{\pi}(4\sqrt{10})$

Найдем значение всего выражения, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{\log_{\pi}(4\sqrt{10})}{\log_{\pi}(4\sqrt{10})} = 1$

Число $1$ является целым, а следовательно, и рациональным числом (можно представить как $\frac{1}{1}$).

Ответ: значение выражения равно 1, это рациональное число.