Номер 7, страница 52 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.7. Найдите значение выражения:

а) $log_5 9 : log_5 3;$

б) $log_7 36 : (3log_7 6);$

в) $log_{11} \sqrt[3]{2} : log_{11} \sqrt[3]{4};$

г) $log_3 (\sqrt{3} + 1) : log_3 (4 + 2\sqrt{3}).$

а) Для решения данного выражения воспользуемся свойством логарифма $log_a(b^p) = p \cdot log_a(b)$.

$log_5 9 : log_5 3 = \frac{log_5 9}{log_5 3}$

Представим 9 как $3^2$:

$\frac{log_5 (3^2)}{log_5 3} = \frac{2 \cdot log_5 3}{log_5 3}$

Сократим $log_5 3$ в числителе и знаменателе:

$\frac{2 \cdot \cancel{log_5 3}}{\cancel{log_5 3}} = 2$

Ответ: 2

б) Для решения данного выражения воспользуемся свойством логарифма $log_a(b^p) = p \cdot log_a(b)$.

$log_7 36 : (3 \cdot log_7 6) = \frac{log_7 36}{3 \cdot log_7 6}$

Представим 36 как $6^2$:

$\frac{log_7 (6^2)}{3 \cdot log_7 6} = \frac{2 \cdot log_7 6}{3 \cdot log_7 6}$

Сократим $log_7 6$ в числителе и знаменателе:

$\frac{2 \cdot \cancel{log_7 6}}{3 \cdot \cancel{log_7 6}} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

в) Для решения данного выражения воспользуемся свойствами логарифма и степеней.

$log_{11} \sqrt[3]{2} : log_{11} \sqrt[3]{4} = \frac{log_{11} \sqrt[3]{2}}{log_{11} \sqrt[3]{4}}$

Представим корни в виде степеней: $\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^2} = 2^{\frac{2}{3}}$.

$\frac{log_{11} (2^{\frac{1}{3}})}{log_{11} (2^{\frac{2}{3}})}$

Используем свойство логарифма $log_a(b^p) = p \cdot log_a(b)$:

$\frac{\frac{1}{3} \cdot log_{11} 2}{\frac{2}{3} \cdot log_{11} 2}$

Сократим $log_{11} 2$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) Для решения данного выражения воспользуемся свойством логарифма $log_a(b^p) = p \cdot log_a(b)$ и формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

$log_3 (\sqrt{3} + 1) : log_3 (4 + 2\sqrt{3}) = \frac{log_3 (\sqrt{3} + 1)}{log_3 (4 + 2\sqrt{3})}$

Рассмотрим выражение в аргументе второго логарифма: $4 + 2\sqrt{3}$. Заметим, что его можно представить как квадрат суммы:

$(\sqrt{3} + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{log_3 (\sqrt{3} + 1)}{log_3 ((\sqrt{3} + 1)^2)}$

Применим свойство логарифма к знаменателю:

$\frac{log_3 (\sqrt{3} + 1)}{2 \cdot log_3 (\sqrt{3} + 1)}$

Сократим $log_3 (\sqrt{3} + 1)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{log_3 (\sqrt{3} + 1)}}{2 \cdot \cancel{log_3 (\sqrt{3} + 1)}} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$