Номер 12, страница 53 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.12. Сравните значения выражений $-49^{0.5}$ и $\log_{4\sqrt{3}}\left(\frac{9\sqrt[9]{3}}{81}\right)$.

Для того чтобы сравнить значения выражений, необходимо вычислить или упростить каждое из них.

$-49^{0.5}$

Вычислим значение первого выражения. Степень $0.5$ эквивалентна извлечению квадратного корня. Возведение в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус, поэтому сначала вычисляется $49^{0.5}$.

$$-49^{0.5} = -(49^{0.5}) = -\sqrt{49} = -7$$

Ответ: -7.

$\log_{\sqrt[4]{3}}\left(\frac{9\sqrt[9]{3}}{81}\right)$

Для вычисления второго выражения, приведем основание и аргумент логарифма к степени с основанием 3.

Преобразуем основание логарифма: $$\sqrt[4]{3} = 3^{\frac{1}{4}}$$

Преобразуем аргумент логарифма: $$\frac{9\sqrt[9]{3}}{81} = \frac{3^2 \cdot 3^{\frac{1}{9}}}{3^4} = 3^{2 + \frac{1}{9} - 4} = 3^{\frac{18+1-36}{9}} = 3^{-\frac{17}{9}}$$

Теперь вычислим логарифм, используя свойство $\log_{a^m}(b^n) = \frac{n}{m}\log_a(b)$: $$\log_{3^{\frac{1}{4}}}\left(3^{-\frac{17}{9}}\right) = \frac{-17/9}{1/4} \cdot \log_3(3) = -\frac{17}{9} \cdot 4 = -\frac{68}{9}$$

Для сравнения и выполнения требования задачи, выделим целую часть из полученной неправильной дроби: $$-\frac{68}{9} = -7\frac{5}{9}$$

Ответ: $-7\frac{5}{9}$.

Сравнение результатов

Теперь мы можем сравнить полученные значения:

Значение первого выражения равно $-7$.

Значение второго выражения равно $-7\frac{5}{9}$.

Сравнивая эти два отрицательных числа, мы видим, что $-7\frac{5}{9}$ находится левее на числовой оси, чем $-7$, следовательно:

$$-7\frac{5}{9} < -7$$

Таким образом:

$$\log_{\sqrt[4]{3}}\left(\frac{9\sqrt[9]{3}}{81}\right) < -49^{0.5}$$