Номер 3, страница 51 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.3. Найдите значение выражения:

а) $\frac{\lg 2 + \lg 4}{\lg 16}$;

б) $\frac{\ln 81}{\ln 5 - \ln 15}$;

в) $\frac{\log_5^2 10 - \log_5^2 2}{\log_5 20}$;

г) $\frac{\log_3 147}{\log_3^2 21 - \log_3^2 7}$.

а) Для решения данного примера воспользуемся свойствами логарифмов. Напомним, что $\lg$ - это десятичный логарифм (логарифм по основанию 10).

Сначала преобразуем числитель, используя свойство суммы логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$:

$\lg2 + \lg4 = \lg(2 \cdot 4) = \lg8$

Теперь выражение принимает вид:

$\frac{\lg8}{\lg16}$

Представим числа 8 и 16 в виде степеней двойки: $8 = 2^3$ и $16 = 2^4$.

Используем свойство логарифма степени $\log_a(b^p) = p \cdot \log_a b$:

$\frac{\lg(2^3)}{\lg(2^4)} = \frac{3 \cdot \lg2}{4 \cdot \lg2}$

Сокращаем общий множитель $\lg2$ в числителе и знаменателе:

$\frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

б) Для решения данного примера воспользуемся свойствами логарифмов. Напомним, что $\ln$ - это натуральный логарифм (логарифм по основанию e).

Сначала преобразуем знаменатель, используя свойство разности логарифмов $\ln x - \ln y = \ln(\frac{x}{y})$:

$\ln5 - \ln15 = \ln(\frac{5}{15}) = \ln(\frac{1}{3})$

Используя свойство $\ln(\frac{1}{a}) = \ln(a^{-1}) = -\ln a$, получаем:

$\ln(\frac{1}{3}) = -\ln3$

Теперь преобразуем числитель. Представим 81 как степень тройки: $81 = 3^4$. Используем свойство логарифма степени $\ln(b^p) = p \cdot \ln b$:

$\ln81 = \ln(3^4) = 4 \cdot \ln3$

Подставим преобразованные выражения в исходную дробь:

$\frac{4 \ln3}{-\ln3}$

Сокращаем общий множитель $\ln3$:

$\frac{4}{-1} = -4$

Ответ: -4

в) В числителе дроби видим разность квадратов. Воспользуемся формулой $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = \log_5 10$ и $b = \log_5 2$.

$\log_5^2 10 - \log_5^2 2 = (\log_5 10 - \log_5 2)(\log_5 10 + \log_5 2)$

Теперь применим свойства разности и суммы логарифмов к выражениям в скобках:

Первая скобка: $\log_5 10 - \log_5 2 = \log_5(\frac{10}{2}) = \log_5 5 = 1$.

Вторая скобка: $\log_5 10 + \log_5 2 = \log_5(10 \cdot 2) = \log_5 20$.

Таким образом, числитель равен $1 \cdot \log_5 20 = \log_5 20$.

Подставим результат в исходное выражение:

$\frac{\log_5 20}{\log_5 20} = 1$

Ответ: 1

г) В знаменателе дроби видим разность квадратов. Воспользуемся формулой $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = \log_3 21$ и $b = \log_3 7$.

$\log_3^2 21 - \log_3^2 7 = (\log_3 21 - \log_3 7)(\log_3 21 + \log_3 7)$

Теперь применим свойства разности и суммы логарифмов к выражениям в скобках:

Первая скобка: $\log_3 21 - \log_3 7 = \log_3(\frac{21}{7}) = \log_3 3 = 1$.

Вторая скобка: $\log_3 21 + \log_3 7 = \log_3(21 \cdot 7) = \log_3 147$.

Таким образом, знаменатель равен $1 \cdot \log_3 147 = \log_3 147$.

Подставим результат в исходное выражение:

$\frac{\log_3 147}{\log_3 147} = 1$

Ответ: 1