Номер 44, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.44. Решите неравенство:

a) $(7x^2 - 6x - 1)\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2} - \left(\frac{1}{3}\right)^{x+2}\right) \ge 0;$

б) $(10^x - 10^{x^2+2})(3^{x^2-4} - 3^{2x+4})(0,2^{3x} - 0,2^{x^2-4}) < 0.$

а) Решим неравенство $(7x^2 - 6x - 1)\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2} - \left(\frac{1}{3}\right)^{x+2}\right) \ge 0$.
Данное неравенство можно решить методом рационализации. Суть метода заключается в замене сложных выражений на более простые, имеющие те же знаки на области определения.
Знак выражения $a^{f(x)} - a^{g(x)}$ при $0 < a < 1$ противоположен знаку выражения $f(x) - g(x)$.
Рассмотрим второй множитель: $\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2} - \left(\frac{1}{3}\right)^{x+2}$. Основание степени $a = \frac{1}{3}$, и $0 < \frac{1}{3} < 1$.
Следовательно, знак этого множителя противоположен знаку разности показателей: $x^2 - (x+2) = x^2 - x - 2$.
Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему:
$(7x^2 - 6x - 1)(x^2 - x - 2) \le 0$.
Теперь решим это полиномиальное неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни каждого множителя.
1. Найдем корни первого множителя $7x^2 - 6x - 1 = 0$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64 = 8^2$
$x_{1,2} = \frac{6 \pm 8}{14}$
$x_1 = \frac{14}{14} = 1$
$x_2 = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$
2. Найдем корни второго множителя $x^2 - x - 2 = 0$:
По теореме Виета, корни $x_3 = 2$ и $x_4 = -1$.
Отметим все корни на числовой оси в порядке возрастания: $-1, -\frac{1}{7}, 1, 2$.

Определим знаки выражения $(7x^2 - 6x - 1)(x^2 - x - 2)$ на каждом из интервалов. Так как старший коэффициент ($7x^4$) положителен, на крайнем правом интервале будет знак "+". Далее знаки чередуются.

• $(2, +\infty)$: +
• $(1, 2)$: -
• $(-\frac{1}{7}, 1)$: +
• $(-1, -\frac{1}{7})$: -
• $(-\infty, -1)$: +

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервалы со знаком "-". Поскольку неравенство нестрогое, концы интервалов включаются в решение.
Ответ: $x \in [-1, -\frac{1}{7}] \cup [1, 2]$.

б) Решим неравенство $(10^x - 10^{x^2+2})(3^{x^2-4} - 3^{2x+4})(0.2^{3x} - 0.2^{2x^2-4}) < 0$.
Применим метод рационализации для каждого множителя.
1. Для множителя $10^x - 10^{x^2+2}$: основание $10 > 1$, поэтому его знак совпадает со знаком разности показателей $x - (x^2+2) = -x^2+x-2$. Квадратный трехчлен $-x^2+x-2$ имеет дискриминант $D = 1^2 - 4(-1)(-2) = 1-8 = -7 < 0$. Так как старший коэффициент отрицателен, это выражение всегда отрицательно при любом $x$.
2. Для множителя $3^{x^2-4} - 3^{2x+4}$: основание $3 > 1$, поэтому его знак совпадает со знаком разности показателей $(x^2-4) - (2x+4) = x^2-2x-8$.
3. Для множителя $0.2^{3x} - 0.2^{2x^2-4}$: основание $0.2 < 1$, поэтому его знак противоположен знаку разности показателей $3x - (2x^2-4) = -2x^2+3x+4$. Это означает, что знак множителя совпадает со знаком выражения $-( -2x^2+3x+4) = 2x^2-3x-4$.
Исходное неравенство равносильно следующему:
$(-1) \cdot (x^2-2x-8) \cdot (2x^2-3x-4) < 0$.
Разделим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$(x^2-2x-8)(2x^2-3x-4) > 0$.
Найдем корни каждого множителя:
$x^2-2x-8 = 0 \implies (x-4)(x+2) = 0 \implies x_1 = 4, x_2 = -2$.
$2x^2-3x-4 = 0 \implies D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 9+32=41$. Корни $x_{3,4} = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{4}$.
Расположим все корни на числовой оси в порядке возрастания: $-2, \frac{3-\sqrt{41}}{4}, \frac{3+\sqrt{41}}{4}, 4$.

Решим неравенство $(x-4)(x+2)(2x^2-3x-4) > 0$ методом интервалов. Старший коэффициент ($2x^4$) положителен, поэтому на крайнем правом интервале знак "+", далее знаки чередуются.

• $(4, +\infty)$: +
• $(\frac{3+\sqrt{41}}{4}, 4)$: -
• $(\frac{3-\sqrt{41}}{4}, \frac{3+\sqrt{41}}{4})$: +
• $(-2, \frac{3-\sqrt{41}}{4})$: -
• $(-\infty, -2)$: +

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля ($> 0$). Это интервалы со знаком "+". Так как неравенство строгое, концы интервалов не включаются.
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup \left(\frac{3 - \sqrt{41}}{4}, \frac{3 + \sqrt{41}}{4}\right) \cup (4, \infty)$.