Номер 45, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.45. Найдите произведение целых решений неравенства

$(4x^2 + 4x - 3)(5^{2x^2} - 5^x + 3) \le 0.$

Для решения неравенства $(4x^2 + 4x - 3)(5^{2x^2} - 5^x + 3) \le 0$ рассмотрим знаки каждого множителя.

1. Анализ второго множителя: $5^{2x^2} - 5^x + 3$

Докажем, что выражение $5^{2x^2} - 5^x + 3$ всегда положительно при любом действительном значении $x$. Рассмотрим три случая:

• Случай 1: $x \le 0$.
  В этом случае $2x^2 \ge 0$, а значит $5^{2x^2} \ge 5^0 = 1$.
  Также, $x \le 0$ означает, что $0 < 5^x \le 5^0 = 1$.
  Следовательно, выражение $5^{2x^2} - 5^x + 3 \ge 1 - 1 + 3 = 3$. Таким образом, оно строго положительно.
• Случай 2: $x \ge \frac{1}{2}$.
  Для этих значений $x$ выполняется неравенство $2x^2 \ge x$. Так как функция $y=5^t$ является возрастающей, то $5^{2x^2} \ge 5^x$.
  Тогда $5^{2x^2} - 5^x \ge 0$, и все выражение $5^{2x^2} - 5^x + 3 \ge 0 + 3 = 3$. Таким образом, оно строго положительно.
• Случай 3: $0 < x < \frac{1}{2}$.
  В этом интервале $2x^2 > 0$, поэтому $5^{2x^2} > 5^0 = 1$.
  Также, $x < \frac{1}{2}$, поэтому $5^x < 5^{1/2} = \sqrt{5}$. Отсюда $-5^x > -\sqrt{5}$.
  Сложив эти неравенства, получаем:
  $5^{2x^2} - 5^x + 3 > 1 - \sqrt{5} + 3 = 4 - \sqrt{5}$.
  Поскольку $4 = \sqrt{16}$, а $\sqrt{16} > \sqrt{5}$, то $4 - \sqrt{5} > 0$. Значит, и в этом случае выражение строго положительно.

Мы показали, что множитель $5^{2x^2} - 5^x + 3$ всегда положителен.

2. Решение неравенства

Поскольку второй множитель всегда положителен, знак произведения зависит только от знака первого множителя. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:

$4x^2 + 4x - 3 \le 0$

Чтобы решить это квадратичное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $4x^2 + 4x - 3 = 0$.

Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 - 8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Так как ветви параболы $y = 4x^2 + 4x - 3$ направлены вверх ($a=4 > 0$), неравенство $4x^2 + 4x - 3 \le 0$ выполняется между корнями (включая сами корни).
Следовательно, решение неравенства: $x \in [-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}]$.

Выделим целую часть из неправильной дроби: $-\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2}$. Таким образом, интервал решений: $[-1\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

3. Нахождение произведения целых решений

Найдем все целые числа, которые принадлежат отрезку $[-1.5, 0.5]$.
Это числа: $-1$ и $0$.

Найдем их произведение:

$(-1) \cdot 0 = 0$

Ответ: 0.