Номер 4, страница 52 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7.4. Вычислите:

а) $\log_{\frac{1}{6}} 4 + 2\log_{\frac{1}{6}} 3$;

б) $2\log_{49} \frac{12}{7} - \log_7 12 + 9$;

в) $3\log_8 9 - 2\log_{\frac{1}{16}} \frac{1}{81}$;

г) $(3\log_7 2 - \log_7 24) : (\log_7 3 + \log_7 9)$;

д) $\frac{\log_8 45 + 2\log_8 \frac{1}{3}}{\log_8 75 - \log_8 3}$;

е) $\frac{\lg 81 + \lg 256}{2\lg 3 + 2\lg 4}$;

ж) $\frac{\ln 625 + \ln 64}{2\ln 5 + 3\ln 2}$;

з) $\frac{\log_3 25 - 4\log_3 2}{0,5\log_3 256 - 2\log_3 5}$;

а) Используем свойства логарифмов $n\log_b a = \log_b a^n$ и $\log_b a + \log_b c = \log_b (ac)$:
$\log_{\frac{1}{6}} 4 + 2\log_{\frac{1}{6}} 3 = \log_{\frac{1}{6}} 4 + \log_{\frac{1}{6}} 3^2 = \log_{\frac{1}{6}} 4 + \log_{\frac{1}{6}} 9 = \log_{\frac{1}{6}} (4 \cdot 9) = \log_{\frac{1}{6}} 36$.
Чтобы найти значение $\log_{\frac{1}{6}} 36$, решим уравнение $(\frac{1}{6})^x = 36$.
Поскольку $\frac{1}{6} = 6^{-1}$, получаем $(6^{-1})^x = 6^2$, следовательно $6^{-x} = 6^2$, откуда $-x = 2$ и $x = -2$.
Ответ: -2

б) $2\log_{49} \frac{12}{7} - \log_7 12 + 9$.
Приведем первый логарифм к основанию 7, используя свойство $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$:
$2\log_{49} \frac{12}{7} = 2\log_{7^2} \frac{12}{7} = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_7 \frac{12}{7} = \log_7 \frac{12}{7}$.
Подставим в исходное выражение и используем свойство $\log_b a - \log_b c = \log_b (\frac{a}{c})$:
$\log_7 \frac{12}{7} - \log_7 12 + 9 = \log_7 \left(\frac{12/7}{12}\right) + 9 = \log_7 \left(\frac{12}{7 \cdot 12}\right) + 9 = \log_7 \left(\frac{1}{7}\right) + 9$.
Так как $\log_7 (\frac{1}{7}) = \log_7 7^{-1} = -1$, то выражение равно $-1 + 9 = 8$.
Ответ: 8

в) $3\log_8 9 - 2\log_{\frac{1}{16}} \frac{1}{81}$.
Преобразуем каждый член выражения, приведя логарифмы к основанию 2, используя свойство $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$:
$3\log_8 9 = 3\log_{2^3} 3^2 = 3 \cdot \frac{2}{3} \log_2 3 = 2\log_2 3$.
$2\log_{\frac{1}{16}} \frac{1}{81} = 2\log_{2^{-4}} 3^{-4} = 2 \cdot \frac{-4}{-4} \log_2 3 = 2 \cdot 1 \cdot \log_2 3 = 2\log_2 3$.
Подставим полученные выражения:
$2\log_2 3 - 2\log_2 3 = 0$.
Ответ: 0

г) $(3\log_7 2 - \log_7 24) : (\log_7 3 + \log_7 9)$.
Упростим выражение в первой скобке:
$3\log_7 2 - \log_7 24 = \log_7 2^3 - \log_7 24 = \log_7 8 - \log_7 24 = \log_7 (\frac{8}{24}) = \log_7 (\frac{1}{3})$.
Упростим выражение во второй скобке:
$\log_7 3 + \log_7 9 = \log_7 (3 \cdot 9) = \log_7 27$.
Теперь выполним деление:
$\log_7 (\frac{1}{3}) : \log_7 27 = \frac{\log_7 3^{-1}}{\log_7 3^3} = \frac{-1 \cdot \log_7 3}{3 \cdot \log_7 3} = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$

д) $\frac{\log_8 45 + 2\log_8 \frac{1}{3}}{\log_8 75 - \log_8 3}$.
Упростим числитель:
$\log_8 45 + 2\log_8 \frac{1}{3} = \log_8 45 + \log_8 (\frac{1}{3})^2 = \log_8 45 + \log_8 \frac{1}{9} = \log_8 (45 \cdot \frac{1}{9}) = \log_8 5$.
Упростим знаменатель:
$\log_8 75 - \log_8 3 = \log_8 (\frac{75}{3}) = \log_8 25$.
Получаем дробь:
$\frac{\log_8 5}{\log_8 25} = \frac{\log_8 5}{\log_8 5^2} = \frac{\log_8 5}{2\log_8 5} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

е) $\frac{\lg 81 + \lg 256}{2\lg 3 + 2\lg 4}$.
Упростим числитель, используя свойство $\log a^n = n \log a$:
$\lg 81 + \lg 256 = \lg 3^4 + \lg 4^4 = 4\lg 3 + 4\lg 4$.
Теперь подставим упрощенный числитель в дробь и вынесем общие множители:
$\frac{4\lg 3 + 4\lg 4}{2\lg 3 + 2\lg 4} = \frac{4(\lg 3 + \lg 4)}{2(\lg 3 + \lg 4)}$.
Сократим $(\lg 3 + \lg 4)$:
$\frac{4}{2} = 2$.
Ответ: 2

ж) $\frac{\ln 625 + \ln 64}{2\ln 5 + 3\ln 2}$.
Упростим числитель, используя свойство $\ln a^n = n \ln a$:
$\ln 625 + \ln 64 = \ln 5^4 + \ln 2^6 = 4\ln 5 + 6\ln 2$.
Подставим в дробь и вынесем общий множитель в числителе:
$\frac{4\ln 5 + 6\ln 2}{2\ln 5 + 3\ln 2} = \frac{2(2\ln 5 + 3\ln 2)}{2\ln 5 + 3\ln 2}$.
Сократим $(2\ln 5 + 3\ln 2)$:
$= 2$.
Ответ: 2

з) $\frac{\log_3 25 - 4\log_3 2}{0,5\log_3 256 - 2\log_3 5}$.
Упростим числитель:
$\log_3 25 - 4\log_3 2 = \log_3 5^2 - \log_3 2^4 = 2\log_3 5 - 4\log_3 2$.
Упростим знаменатель:
$0,5\log_3 256 - 2\log_3 5 = \frac{1}{2}\log_3 2^8 - 2\log_3 5 = \frac{8}{2}\log_3 2 - 2\log_3 5 = 4\log_3 2 - 2\log_3 5$.
Подставим в дробь:
$\frac{2\log_3 5 - 4\log_3 2}{4\log_3 2 - 2\log_3 5}$.
Заметим, что числитель и знаменатель отличаются только знаком:
$2\log_3 5 - 4\log_3 2 = -(4\log_3 2 - 2\log_3 5)$.
Следовательно, $\frac{-(4\log_3 2 - 2\log_3 5)}{4\log_3 2 - 2\log_3 5} = -1$.
Ответ: -1