Номер 43, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.43. Решите неравенство:

a) $(x+1)^2 \cdot 3^{x-2} - 3^{x+3} \ge 0;$

б) $5^{x+2} - (x+2)^2 \cdot 5^{x-1} \ge 0.$

а) Решим неравенство $(x+1)^2 \cdot 3^{x-2} - 3^{x+3} \ge 0$.

Преобразуем показательные члены, чтобы вынести общий множитель. Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

Заметим, что $3^{x+3} = 3^{(x-2)+5} = 3^{x-2} \cdot 3^5$.

Подставим это в исходное неравенство:

Вынесем общий множитель $3^{x-2}$ за скобки:

Так как показательная функция $y=3^t$ всегда строго положительна ($3^{x-2} > 0$) при любом действительном значении $x$, мы можем разделить обе части неравенства на $3^{x-2}$, не меняя знака неравенства. Получаем:

Вычислим $3^5 = 243$:

Разложим левую часть по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x+1$ и $b = \sqrt{243} = \sqrt{81 \cdot 3} = 9\sqrt{3}$:

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения:

Корни уравнения: $x_1 = -1 + 9\sqrt{3}$ и $x_2 = -1 - 9\sqrt{3}$.

Графиком функции $y = (x+1)^2 - 243$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $y \ge 0$ выполняется на промежутках, где график находится выше или на оси абсцисс, то есть левее меньшего корня и правее большего корня (включая сами корни).

Таким образом, решение неравенства:

Ответ: $(-\infty; -1 - 9\sqrt{3}] \cup [-1 + 9\sqrt{3}; +\infty)$.

б) Решим неравенство $5^{x+2} - (x+2)^2 \cdot 5^{x-1} \ge 0$.

Преобразуем показательные члены, чтобы вынести общий множитель. Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

Заметим, что $5^{x+2} = 5^{(x-1)+3} = 5^{x-1} \cdot 5^3$.

Подставим это в исходное неравенство:

Вынесем общий множитель $5^{x-1}$ за скобки:

Так как показательная функция $y=5^t$ всегда строго положительна ($5^{x-1} > 0$) при любом действительном значении $x$, мы можем разделить обе части неравенства на $5^{x-1}$, не меняя знака неравенства. Получаем:

Вычислим $5^3 = 125$:

Разложим левую часть по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$ и $b = x+2$:

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения:

Корни уравнения: $x_1 = 5\sqrt{5} - 2$ и $x_2 = -5\sqrt{5} - 2$.

Графиком функции $y = 125 - (x+2)^2$ является парабола с ветвями, направленными вниз. Следовательно, неравенство $y \ge 0$ выполняется на промежутке между корнями (включая сами корни), где график находится выше или на оси абсцисс.

Таким образом, решение неравенства:

Ответ: $[-2 - 5\sqrt{5}; -2 + 5\sqrt{5}]$.