Номер 40, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6.40. Решите неравенство:

а) $\frac{4^x - 2}{5 - x} \ge 0;$

б) $\frac{2^x - 1}{125 - 5^x} \le 0;$

в) $\frac{x^2 - 4}{2^x - 3} < 0;$

г) $\frac{(5^x - 5)(16 - 2^x)}{3^x} \ge 0;$

д) $\frac{7^x (81 - 3^x)}{(3^x - 1)(5^x - 2)} \ge 0;$

е) $\frac{(x^2 - 1)(x + 2)}{3^x - 5} > 0.$

a) Решим неравенство $\frac{4^x - 2}{5 - x} \ge 0$ методом интервалов.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю: $5 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$.
2. Найдем нули числителя и знаменателя.
   • Числитель: $4^x - 2 = 0 \Rightarrow (2^2)^x = 2^1 \Rightarrow 2^{2x} = 2^1 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$. Эта точка включается в решение, так как неравенство нестрогое.
   • Знаменатель: $5 - x = 0 \Rightarrow x = 5$. Эта точка исключается из решения (знаменатель не может быть равен нулю).
3. Применим обобщенный метод интервалов. Чтобы применить метод, приведем множители к виду $(x-a)$ или $(f(x)-f(a))$, где $f(x)$ - возрастающая функция.
   Неравенство $\frac{4^x-2}{5-x} \ge 0$ равносильно $\frac{4^x-4^{1/2}}{-(x-5)} \ge 0$.
   Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный: $\frac{4^x-4^{1/2}}{x-5} \le 0$.
4. Так как функция $y=4^x$ является возрастающей, то знак выражения $4^x - 4^{1/2}$ совпадает со знаком выражения $x - \frac{1}{2}$. Таким образом, неравенство равносильно $\frac{x - \frac{1}{2}}{x - 5} \le 0$.
5. Решая это рациональное неравенство методом интервалов, находим, что выражение отрицательно между корнями. Учитывая, что $x=\frac{1}{2}$ входит в решение, а $x=5$ нет, получаем $x \in [\frac{1}{2}, 5)$.

б) Решим неравенство $\frac{2^x - 1}{125 - 5^x} \le 0$.

1. ОДЗ: $125 - 5^x \neq 0 \Rightarrow 5^x \neq 5^3 \Rightarrow x \neq 3$.
2. Нули числителя и знаменателя:
   • $2^x - 1 = 0 \Rightarrow 2^x = 1 \Rightarrow 2^x = 2^0 \Rightarrow x = 0$. Точка включается в решение.
   • $125 - 5^x = 0 \Rightarrow 5^x = 125 \Rightarrow 5^x = 5^3 \Rightarrow x = 3$. Точка исключается.
3. Применим обобщенный метод интервалов. Преобразуем неравенство: $\frac{2^x - 2^0}{-(5^x - 5^3)} \le 0$.
   Умножим на -1 и сменим знак: $\frac{2^x - 2^0}{5^x - 5^3} \ge 0$.
4. Так как функции $y=2^x$ и $y=5^x$ возрастающие, это неравенство равносильно $\frac{x - 0}{x - 3} \ge 0$.
5. Решая $\frac{x}{x - 3} \ge 0$ методом интервалов, получаем решение: $x \le 0$ или $x > 3$.

в) Решим неравенство $\frac{x^2 - 4}{2^x - 3} < 0$.

1. ОДЗ: $2^x - 3 \neq 0 \Rightarrow 2^x \neq 3 \Rightarrow x \neq \log_2 3$.
2. Найдем нули числителя и знаменателя:
   • $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) = 0 \Rightarrow x = -2, x = 2$.
   • $2^x - 3 = 0 \Rightarrow x = \log_2 3$.
   Все точки исключаются из решения, так как неравенство строгое.
3. Сравним корни. Так как $2^1=2$ и $2^2=4$, то $1 < \log_2 3 < 2$. Расположим точки на числовой оси в порядке возрастания: $-2, \log_2 3, 2$.
4. Решим неравенство $\frac{(x+2)(x-2)}{2^x - 3} < 0$ методом интервалов. Определим знаки на полученных интервалах:
   • Интервал $(2, +\infty)$: возьмем $x=3 \Rightarrow \frac{(+)(+)}{2^3-3} = \frac{+}{+} > 0$.
   • Интервал $(\log_2 3, 2)$: возьмем $x=1.5 \Rightarrow \frac{(+)(-)}{2^{1.5}-3} = \frac{-}{\sqrt{8}-3} = \frac{-}{-} > 0$. Ошибка в рассуждении, $2^{1.5} = 2\sqrt{2} \approx 2.828 < 3$. Значит знаменатель отрицательный. Давайте используем обобщенный метод. Неравенство равносильно $\frac{(x+2)(x-2)}{x - \log_2 3} < 0$. Проверим знаки для этого неравенства: При $x > 2$ (например $x=3$): $\frac{(+)(+)}{+} > 0$. При $\log_2 3 < x < 2$ (например $x=1.6$): $\frac{(+)(-)}{+} < 0$. При $-2 < x < \log_2 3$ (например $x=0$): $\frac{(+)(-)}{-} > 0$. При $x < -2$ (например $x=-3$): $\frac{(-)(-)}{-} < 0$.
5. Выбираем интервалы со знаком "минус".

г) Решим неравенство $\frac{(5^x - 5)(16 - 2^x)}{3^x} \ge 0$.

1. Знаменатель $3^x$ всегда строго положителен ($3^x > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$). Поэтому на него можно умножить обе части неравенства, не меняя знака. Неравенство равносильно $(5^x - 5)(16 - 2^x) \ge 0$.
2. Найдем нули множителей:
   • $5^x - 5 = 0 \Rightarrow 5^x = 5^1 \Rightarrow x = 1$.
   • $16 - 2^x = 0 \Rightarrow 2^x = 16 \Rightarrow 2^x = 2^4 \Rightarrow x = 4$.
   Точки $x=1$ и $x=4$ включаются в решение, так как неравенство нестрогое.
3. Преобразуем неравенство: $(5^x - 5) \cdot (-(2^x - 16)) \ge 0$. Умножим на -1 и сменим знак: $(5^x - 5)(2^x - 16) \le 0$.
4. Так как функции $y=5^x$ и $y=2^x$ возрастающие, это неравенство равносильно $(x-1)(x-4) \le 0$. Решением этого квадратного неравенства является отрезок между корнями.

д) Решим неравенство $\frac{7^x (81 - 3^x)}{(3^x - 1)(5^x - 2)} \ge 0$.

1. Множитель $7^x$ всегда положителен, поэтому на него можно сократить, не меняя знака неравенства: $\frac{81 - 3^x}{(3^x - 1)(5^x - 2)} \ge 0$.
2. Найдем нули числителя и знаменателей:
   • $81 - 3^x = 0 \Rightarrow 3^x = 81 \Rightarrow 3^x = 3^4 \Rightarrow x=4$. Точка включается в решение.
   • $3^x - 1 = 0 \Rightarrow 3^x = 1 \Rightarrow 3^x = 3^0 \Rightarrow x=0$. Точка исключается.
   • $5^x - 2 = 0 \Rightarrow 5^x = 2 \Rightarrow x=\log_5 2$. Точка исключается.
3. Сравним корни: $5^0 = 1 < 2 < 5^1 = 5 \Rightarrow 0 < \log_5 2 < 1$. Расположим точки на оси: $0, \log_5 2, 4$.
4. Приведем неравенство к стандартному виду для метода интервалов: $\frac{-(3^x - 81)}{(3^x - 1)(5^x - 2)} \ge 0 \Rightarrow \frac{3^x - 3^4}{(3^x - 3^0)(5^x - 5^{\log_5 2})} \le 0$. Это равносильно $\frac{x-4}{(x-0)(x-\log_5 2)} \le 0$.
5. Определим знаки на интервалах методом "змейки". Справа от наибольшего корня ($x>4$) выражение положительно. Далее знаки чередуются.
   • $(4, +\infty)$: $+$.
   • $(\log_5 2, 4)$: $-$.
   • $(0, \log_5 2)$: $+$.
   • $(-\infty, 0)$: $-$.
6. Выбираем интервалы со знаком "минус" и включаем нуль числителя $x=4$.

е) Решим неравенство $\frac{(x^2 - 1)(x+2)}{3^x - 5} > 0$.

1. ОДЗ: $3^x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq \log_3 5$.
2. Найдем нули числителя и знаменателя:
   • $x^2 - 1 = (x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow x=1, x=-1$.
   • $x+2 = 0 \Rightarrow x=-2$.
   • $3^x - 5 = 0 \Rightarrow x=\log_3 5$.
   Все точки исключаются, так как неравенство строгое.
3. Сравним корни: $3^1=3, 3^2=9 \Rightarrow 1 < \log_3 5 < 2$. Расположим точки на оси: $-2, -1, 1, \log_3 5$.
4. Используем обобщенный метод интервалов. Неравенство $\frac{(x-1)(x+1)(x+2)}{3^x - 5} > 0$ равносильно неравенству $\frac{(x-1)(x+1)(x+2)}{x-\log_3 5} > 0$.
5. Решаем методом интервалов. Все корни имеют нечетную кратность, поэтому знаки на интервалах чередуются. Справа от наибольшего корня выражение положительно.
   • $(\log_3 5, +\infty)$: $+$.
   • $(1, \log_3 5)$: $-$.
   • $(-1, 1)$: $+$.
   • $(-2, -1)$: $-$.
   • $(-\infty, -2)$: $+$.
6. Выбираем интервалы со знаком "плюс".