Номер 25, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.25. Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения

$7^{\sqrt{x}+5} \cdot 7^{\sqrt{2x}+8-7} = \ln e.$

Исходное уравнение:

$$7^{\sqrt{x+5}} \cdot 7^{\sqrt{2x+8}-7} = \ln(e)$$

1. Упрощение уравнения

Сначала упростим обе части уравнения. В левой части воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В правой части используем основное свойство натурального логарифма $\ln(e) = 1$.

$$7^{\sqrt{x+5} + \sqrt{2x+8} - 7} = 1$$

Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, мы можем представить $1$ как $7^0$. Поскольку основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$$\sqrt{x+5} + \sqrt{2x+8} - 7 = 0$$

Перенесем 7 в правую часть:

$$\sqrt{x+5} + \sqrt{2x+8} = 7$$

2. Решение иррационального уравнения

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения, стоящие под знаком квадратного корня, должны быть неотрицательными:

$$ \begin{cases} x+5 \ge 0 \\ 2x+8 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ 2x \ge -8 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ x \ge -4 \end{cases} $$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge -4$.

Для решения уравнения уединим один из радикалов и возведем обе части в квадрат:

$$\sqrt{2x+8} = 7 - \sqrt{x+5}$$

$$(\sqrt{2x+8})^2 = (7 - \sqrt{x+5})^2$$

$$2x+8 = 49 - 14\sqrt{x+5} + (x+5)$$

$$2x+8 = 54 + x - 14\sqrt{x+5}$$

Снова уединим радикал:

$$2x - x + 8 - 54 = -14\sqrt{x+5}$$

$$x - 46 = -14\sqrt{x+5}$$

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

$$(x - 46)^2 = (-14\sqrt{x+5})^2$$

$$x^2 - 92x + 2116 = 196(x+5)$$

$$x^2 - 92x + 2116 = 196x + 980$$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$$x^2 - 288x + 1136 = 0$$

3. Поиск и проверка корней

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$$D = (-288)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1136 = 82944 - 4544 = 78400$$

$$\sqrt{D} = \sqrt{78400} = 280$$

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{288 - 280}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

$$x_2 = \frac{288 + 280}{2} = \frac{568}{2} = 284$$

Теперь необходимо выполнить проверку, так как при возведении в квадрат могли появиться посторонние корни. Подставим найденные значения в иррациональное уравнение $\sqrt{x+5} + \sqrt{2x+8} = 7$.

• Проверка для $x=4$:
  $\sqrt{4+5} + \sqrt{2(4)+8} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.
  $7=7$. Равенство верное, следовательно, $x=4$ является корнем уравнения.
• Проверка для $x=284$:
  $\sqrt{284+5} + \sqrt{2(284)+8} = \sqrt{289} + \sqrt{576} = 17 + 24 = 41$.
  $41 \ne 7$. Равенство неверное, следовательно, $x=284$ является посторонним корнем.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень $x=4$.

Сумма корней (корень, если он единственный). Ответ: 4