Номер 30, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.30. Найдите среднее арифметическое корней уравнения $2^{\cos 2x} = 3 \cdot 2^{\cos^2 x} - \log_2 16$, принадлежащих промежутку $[0; 2\pi]$.

Для решения задачи необходимо последовательно упростить уравнение, найти его корни на заданном промежутке и вычислить их среднее арифметическое.

Дано уравнение:

Сначала вычислим значение логарифма в правой части: $\log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$.

Далее, чтобы привести тригонометрические функции к одному аргументу, используем формулу косинуса двойного угла: $\cos{2x} = 2\cos^2 x - 1$.

Подставим полученные значения в исходное уравнение:

Используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем левую часть уравнения:

Так как $2^{2\cos^2 x} = (2^{\cos^2 x})^2$, уравнение принимает следующий вид:

Для дальнейшего упрощения введем замену. Пусть $t = 2^{\cos^2 x}$.

Определим область допустимых значений для переменной $t$. Поскольку для любого действительного $x$ выполняется неравенство $0 \le \cos^2 x \le 1$, то для $t$ имеем $2^0 \le t \le 2^1$, что равносильно $1 \le t \le 2$.

С новой переменной $t$ уравнение переписывается как:

Домножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

Решим это уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $1 \le t \le 2$:

• $t_1 = 2$ – удовлетворяет условию.
• $t_2 = 4$ – не удовлетворяет условию ($4 > 2$), следовательно, является посторонним корнем.

Таким образом, единственным решением для $t$ является $t = 2$.

Выполним обратную замену, подставив найденное значение $t$:

Так как $2 = 2^1$, мы можем приравнять показатели степеней:

Это уравнение распадается на два более простых:

Найдем корни этих уравнений, которые принадлежат заданному промежутку $[0, 2\pi]$:

• Для уравнения $\cos x = 1$, корни на отрезке $[0, 2\pi]$: $x = 0$ и $x = 2\pi$.
• Для уравнения $\cos x = -1$, корень на отрезке $[0, 2\pi]$: $x = \pi$.

В итоге, мы получили три корня исходного уравнения на заданном промежутке: $x_1 = 0$, $x_2 = \pi$, $x_3 = 2\pi$.

Среднее арифметическое найденных корней равно их сумме, деленной на их количество.

Сумма корней: $S = 0 + \pi + 2\pi = 3\pi$.

Количество корней: $n = 3$.

Вычисляем среднее арифметическое:

Ответ: $\pi$.