Номер 27, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.27. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций

$y = 9^{\\cos x} + 2 \\cdot 3^{\\cos x}$ и $y = 15$.

Для нахождения абсцисс (координат $x$) точек пересечения графиков функций необходимо приравнять их правые части, так как в точках пересечения значения $y$ равны.

Даны функции:

$y = 9^{\cos x} + 2 \cdot 3^{\cos x}$

$y = 15$

Приравниваем выражения для $y$:

$9^{\cos x} + 2 \cdot 3^{\cos x} = 15$

Перенесем 15 в левую часть и представим $9$ как $3^2$, чтобы привести уравнение к одному основанию 3:

$(3^2)^{\cos x} + 2 \cdot 3^{\cos x} - 15 = 0$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$(3^{\cos x})^2 + 2 \cdot 3^{\cos x} - 15 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $3^{\cos x}$. Для удобства решения введем замену переменной. Пусть $t = 3^{\cos x}$.

Так как область значений функции косинуса $-1 \le \cos x \le 1$, то для переменной $t$ будут следующие ограничения:

$3^{-1} \le 3^{\cos x} \le 3^1$

$\frac{1}{3} \le t \le 3$

Подставим $t$ в уравнение:

$t^2 + 2t - 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения.

По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = -2$

$t_1 \cdot t_2 = -15$

Подбором находим корни: $t_1 = -5$ и $t_2 = 3$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни нашему условию $\frac{1}{3} \le t \le 3$.

• Корень $t_1 = -5$ не удовлетворяет условию, так как показательная функция $3^{\cos x}$ всегда положительна. Следовательно, это посторонний корень.
• Корень $t_2 = 3$ удовлетворяет условию, так как $3$ входит в отрезок $[\frac{1}{3}, 3]$.

Вернемся к исходной переменной $x$, используя подходящий корень $t=3$:

$3^{\cos x} = 3$

Так как $3$ можно представить как $3^1$, получаем:

$3^{\cos x} = 3^1$

Приравниваем показатели степеней:

$\cos x = 1$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия значений:

$x = 2\pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.