Номер 18, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.18. Найдите все корни уравнения:

а) $5 \cdot 2^{x^2 - x - 1} - 5^{x^2 - x} = 0;$

б) $2^{x-1} - 2^{x-2} = 6 \cdot 3^{2-x}.$

а) Дано уравнение:

$5 \cdot 2^{x^2 - x - 1} - 5^{x^2 - x} = 0$

Перенесем второе слагаемое в правую часть уравнения:

$5 \cdot 2^{x^2 - x - 1} = 5^{x^2 - x}$

Используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем левую часть:

$5^1 \cdot \frac{2^{x^2 - x}}{2^1} = 5^{x^2 - x}$

$\frac{5}{2} \cdot 2^{x^2 - x} = 5^{x^2 - x}$

Разделим обе части уравнения на $2^{x^2 - x}$. Так как показательная функция всегда положительна ($2^{x^2 - x} > 0$), это преобразование является равносильным.

$\frac{5}{2} = \frac{5^{x^2 - x}}{2^{x^2 - x}}$

Применим свойство частного степеней с одинаковым показателем $\frac{a^m}{b^m} = (\frac{a}{b})^m$:

$(\frac{5}{2})^1 = (\frac{5}{2})^{x^2 - x}$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$1 = x^2 - x$

Получаем квадратное уравнение:

$x^2 - x - 1 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $a=1, b=-1, c=-1$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5$

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{5}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.

б) Дано уравнение:

$2^{x - 1} - 2^{x - 2} = 6 \cdot 3^{2 - x}$

Преобразуем левую часть уравнения, вынеся за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $2^{x-2}$:

$2^{x-2}(2^{(x-1)-(x-2)} - 1) = 2^{x-2}(2^1 - 1) = 2^{x-2}(1) = 2^{x-2}$

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$6 \cdot 3^{2 - x} = 6 \cdot \frac{3^2}{3^x} = 6 \cdot \frac{9}{3^x} = \frac{54}{3^x}$

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$2^{x-2} = \frac{54}{3^x}$

Распишем степень в левой части:

$\frac{2^x}{2^2} = \frac{54}{3^x}$

$\frac{2^x}{4} = \frac{54}{3^x}$

Умножим обе части уравнения на $4 \cdot 3^x$:

$2^x \cdot 3^x = 54 \cdot 4$

Используя свойство $a^m \cdot b^m = (ab)^m$, получим:

$(2 \cdot 3)^x = 216$

$6^x = 216$

Так как $216 = 6^3$, уравнение принимает вид:

$6^x = 6^3$

Отсюда следует, что показатели степеней равны:

$x = 3$