Номер 19, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.19. Найдите нули функции:

a) $y = 2^{5x-1} + 2^{5x-2} + 2^{5x-3} - 896;$

б) $y = 4^x - 3^{x-0.5} - 3^{x+0.5} + 2^{2x-1};$

в) $y = 81^{x-1} - 5^{2x-2} + 4 \cdot 9^{2x-3} - 4 \cdot 5^{2x-3}.$

а) Чтобы найти нули функции $y = 2^{5x-1} + 2^{5x-2} + 2^{5x-3} - 896$, приравняем её к нулю:

$2^{5x-1} + 2^{5x-2} + 2^{5x-3} - 896 = 0$

Перенесем 896 в правую часть и вынесем за скобки общий множитель $2^{5x-3}$:

$2^{5x-3} \cdot 2^2 + 2^{5x-3} \cdot 2^1 + 2^{5x-3} \cdot 1 = 896$

$2^{5x-3}(4 + 2 + 1) = 896$

$2^{5x-3} \cdot 7 = 896$

Разделим обе части на 7:

$2^{5x-3} = \frac{896}{7}$

$2^{5x-3} = 128$

Представим 128 как степень двойки: $128 = 2^7$.

$2^{5x-3} = 2^7$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$5x - 3 = 7$

$5x = 10$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.

б) Чтобы найти нули функции $y = 4^x - 3^{x-0.5} - 3^{x+0.5} + 2^{2x-1}$, приравняем её к нулю:

$4^x - 3^{x-0.5} - 3^{x+0.5} + 2^{2x-1} = 0$

Представим $4^x$ как $(2^2)^x = 2^{2x}$ и сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$(2^{2x} + 2^{2x-1}) - (3^{x-0.5} + 3^{x+0.5}) = 0$

$2^{2x} + 2^{2x} \cdot 2^{-1} = 3^x \cdot 3^{-0.5} + 3^x \cdot 3^{0.5}$

Вынесем общие множители за скобки:

$2^{2x}(1 + 2^{-1}) = 3^x(3^{-0.5} + 3^{0.5})$

$2^{2x}(1 + \frac{1}{2}) = 3^x(\frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3})$

Упростим выражения в скобках:

$4^x \cdot \frac{3}{2} = 3^x \cdot \frac{1+3}{\sqrt{3}}$

$4^x \cdot \frac{3}{2} = 3^x \cdot \frac{4}{\sqrt{3}}$

Разделим переменные: перенесем степени с $x$ в левую часть, а числовые коэффициенты в правую.

$\frac{4^x}{3^x} = \frac{4/\sqrt{3}}{3/2}$

$(\frac{4}{3})^x = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3\sqrt{3}}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{4}{3}$:

$\frac{8}{3\sqrt{3}} = \frac{2^3}{3^{3/2}} = \frac{(4^{1/2})^3}{(3^{3/2})} = \frac{4^{3/2}}{3^{3/2}} = (\frac{4}{3})^{3/2}$

Получаем уравнение:

$(\frac{4}{3})^x = (\frac{4}{3})^{3/2}$

Приравниваем показатели степеней:

$x = \frac{3}{2}$

Выделим целую часть из неправильной дроби:

Ответ: $x = 1\frac{1}{2}$.

в) В условии уравнения $y = 81^{x-1} - 5^{2x-2} + 4 \cdot 9^{2x-3} - 4 \cdot 5^{2x-3}$, скорее всего, допущена опечатка. В исходном виде уравнение приводит к иррациональному решению через логарифмы. Наиболее вероятной является опечатка в знаке перед третьим слагаемым. Решим задачу, предположив, что уравнение должно быть таким:

$y = 81^{x-1} - 5^{2x-2} - 4 \cdot 9^{2x-3} - 4 \cdot 5^{2x-3}$

Приравняем функцию к нулю и сгруппируем слагаемые:

$(81^{x-1} - 4 \cdot 9^{2x-3}) - (5^{2x-2} + 4 \cdot 5^{2x-3}) = 0$

Упростим выражения в каждой скобке, приведя степени к одному показателю. Заметим, что $81^{x-1} = (9^2)^{x-1} = 9^{2x-2} = 9^{2x-3+1} = 9 \cdot 9^{2x-3}$. Также $5^{2x-2} = 5^{2x-3+1} = 5 \cdot 5^{2x-3}$.

Подставим в сгруппированное уравнение:

$(9 \cdot 9^{2x-3} - 4 \cdot 9^{2x-3}) - (5 \cdot 5^{2x-3} + 4 \cdot 5^{2x-3}) = 0$

Вынесем общие множители:

$9^{2x-3}(9 - 4) - 5^{2x-3}(5 + 4) = 0$

$5 \cdot 9^{2x-3} - 9 \cdot 5^{2x-3} = 0$

$5 \cdot 9^{2x-3} = 9 \cdot 5^{2x-3}$

Разделим обе части на $5 \cdot 5^{2x-3}$:

$\frac{9^{2x-3}}{5^{2x-3}} = \frac{9}{5}$

$(\frac{9}{5})^{2x-3} = (\frac{9}{5})^1$

Приравниваем показатели степеней:

$2x - 3 = 1$

$2x = 4$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.