Номер 29, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.29. Решите уравнение $2^{1+\operatorname{tg}^2 x+\operatorname{tg}^4 x}=8.$

Данное уравнение является показательным уравнением, в показателе которого находится тригонометрическое выражение.

1. Приведем обе части уравнения к одному основанию. Правая часть уравнения $8$ может быть представлена как $2^3$. Таким образом, уравнение принимает вид:

2. Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

3. Перенесем все члены в левую часть и упростим выражение:

4. Полученное уравнение является биквадратным относительно $\tan x$. Для его решения введем замену переменной. Пусть $y = \tan^2 x$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, должно выполняться условие $y \ge 0$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:

5. Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $y_1 + y_2 = -1$, а их произведение $y_1 \cdot y_2 = -2$. Отсюда легко находятся корни:

6. Выполним обратную замену и проверим корни на соответствие условию $y \ge 0$.

• Для корня $y_1 = 1$:
  $\tan^2 x = 1$
  Этот корень удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является допустимым.
• Для корня $y_2 = -2$:
  $\tan^2 x = -2$
  Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, этот корень является посторонним.

7. Остается решить единственное уравнение:

Это уравнение распадается на два более простых уравнения:

Находим серии решений для каждого из них:

• Из $\tan x = 1$ следует, что $x = \frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$.
• Из $\tan x = -1$ следует, что $x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$.

8. Обе полученные серии решений можно объединить в одну общую формулу. На тригонометрической окружности этим решениям соответствуют точки, соответствующие углам $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ и т.д. Эти точки повторяются с периодом $\frac{\pi}{2}$. Поэтому общее решение можно записать в компактном виде:

Необходимо также учесть область определения исходного уравнения. Функция $\tan x$ определена для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$. Найденные нами решения не совпадают с этими значениями, следовательно, они все являются корнями исходного уравнения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$.