Номер 18, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3.18. Постройте график функции:

а) $y = 4^{\log_4(\sin x)};$

б) $y = 0.3^{\log_{0.3}(\operatorname{tg} x)}.$

а) $y = 4^{\log_4(\sin x)}$

Для построения графика данной функции необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции (ОДЗ).

   Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть строго больше нуля. Следовательно, мы имеем неравенство:

   $$\sin x > 0$$

   Это неравенство выполняется, когда угол $x$ находится в I или II координатной четверти. Решением является объединение интервалов:

   $$x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k), \text{ где } k \in \mathbb{Z}$$

2. Упростить выражение для функции.

   На найденной области определения можно применить основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. В нашем случае $a=4$ и $b=\sin x > 0$.

   $$y = 4^{\log_4(\sin x)} = \sin x$$

3. Описать и построить график.

   График исходной функции совпадает с графиком функции $y = \sin x$, но существует только на интервалах, где $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

   Это означает, что мы рисуем только те части синусоиды (арки), которые лежат выше оси абсцисс. Концевые точки этих арок, которые лежат на оси Ox, не принадлежат графику (так как неравенство $\sin x > 0$ строгое), поэтому их следует отметить "выколотыми" или пустыми кружками.

   Область значений функции — это все возможные значения $y$. Поскольку $y = \sin x$ и $\sin x > 0$, то $y \in (0, 1]$.

Ответ: а) Графиком функции является кривая $y = \sin x$, определенная на множестве $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = 0,3^{\log_{0,3}(\tg x)}$

Для построения графика данной функции выполним аналогичные действия:

1. Найти область определения функции (ОДЗ).

   Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

   $$\tg x > 0$$

   Тангенс положителен, когда угол $x$ находится в I или III координатной четверти. Решением является объединение интервалов:

   $$x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k), \text{ где } k \in \mathbb{Z}$$

2. Упростить выражение для функции.

   Применяя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ на области определения (где $\tg x > 0$), получаем:

   $$y = 0,3^{\log_{0,3}(\tg x)} = \tg x$$

3. Описать и построить график.

   График исходной функции — это части графика $y = \tg x$, расположенные на интервалах, где $x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

   Это ветви тангенсоиды, которые лежат выше оси абсцисс. Каждая ветвь начинается в "выколотой" точке $(\pi k, 0)$ и устремляется к плюс бесконечности по мере приближения $x$ к вертикальной асимптоте $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

   Область значений функции — все положительные действительные числа: $y \in (0, +\infty)$.

Ответ: б) Графиком функции является кривая $y = \tg x$, определенная на множестве $x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.