Номер 12, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3.12. Вычислите:

a) $81^{1-\log_9 2} + 10^{\lg 13}$;

б) $7^{\log_7 11} + 25^{1-\log_5 2}$.

а) $81^{1-\log_9 2} + 10^{\lg 13}$

Для решения данного выражения, разобьем его на два слагаемых и вычислим каждое по отдельности.

1. Первое слагаемое: $81^{1-\log_9 2}$.
Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$81^{1-\log_9 2} = \frac{81^1}{81^{\log_9 2}} = \frac{81}{81^{\log_9 2}}$
Преобразуем знаменатель, зная, что $81 = 9^2$:
$81^{\log_9 2} = (9^2)^{\log_9 2}$
Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и свойство логарифмов $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$:
$(9^2)^{\log_9 2} = 9^{2 \cdot \log_9 2} = 9^{\log_9 2^2} = 9^{\log_9 4}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$9^{\log_9 4} = 4$
Таким образом, первое слагаемое равно: $\frac{81}{4}$.

2. Второе слагаемое: $10^{\lg 13}$.
Десятичный логарифм $\lg b$ — это логарифм по основанию 10, то есть $\lg 13 = \log_{10} 13$.
Применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$10^{\lg 13} = 10^{\log_{10} 13} = 13$.

3. Сложим полученные значения:
$\frac{81}{4} + 13 = \frac{81}{4} + \frac{13 \cdot 4}{4} = \frac{81}{4} + \frac{52}{4} = \frac{81 + 52}{4} = \frac{133}{4}$
Выделим целую часть из неправильной дроби:
$\frac{133}{4} = 33\frac{1}{4}$.

Ответ: $33\frac{1}{4}$.

б) $7^{\log_7 11} + 25^{1-\log_5 2}$

Также разобьем выражение на два слагаемых.

1. Первое слагаемое: $7^{\log_7 11}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$7^{\log_7 11} = 11$.

2. Второе слагаемое: $25^{1-\log_5 2}$.
Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$25^{1-\log_5 2} = \frac{25^1}{25^{\log_5 2}} = \frac{25}{25^{\log_5 2}}$
Преобразуем знаменатель, зная, что $25 = 5^2$:
$25^{\log_5 2} = (5^2)^{\log_5 2}$
Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и свойство логарифмов $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$:
$(5^2)^{\log_5 2} = 5^{2 \cdot \log_5 2} = 5^{\log_5 2^2} = 5^{\log_5 4}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$5^{\log_5 4} = 4$
Таким образом, второе слагаемое равно: $\frac{25}{4}$.

3. Сложим полученные значения:
$11 + \frac{25}{4} = \frac{11 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4} = \frac{44}{4} + \frac{25}{4} = \frac{44 + 25}{4} = \frac{69}{4}$
Выделим целую часть из неправильной дроби:
$\frac{69}{4} = 17\frac{1}{4}$.

Ответ: $17\frac{1}{4}$.