Номер 5, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4.5. Определите, какая из данных функций является возрастающей на всей области определения, а какая — убывающей:

а) $f(x) = 0.25^x - 35;$

б) $f(x) = 4 \cdot (0.25)^{7-x};$

в) $f(x) = 3^{1.5x - 4} \cdot 4^{4x + 1};$

г) $f(x) = 10^{2x - 5} + x;$

д) $f(x) = 3^x - \left(\frac{1}{2}\right)^x;$

е) $f(x) = 6^x + 4^x.$

Для определения, является ли функция возрастающей или убывающей на всей области определения, мы проанализируем каждую функцию по отдельности, основываясь на свойствах показательных и линейных функций.

а) $f(x) = 0,25^x - 35$
Данная функция является показательной функцией $y = a^x$ с основанием $a = 0,25$. Поскольку основание $0 < 0,25 < 1$, функция $y = 0,25^x$ является убывающей. Вычитание константы 35 смещает график функции вниз по оси ординат, но не меняет ее характер монотонности. Следовательно, вся функция является убывающей.
Ответ: убывающая.

б) $f(x) = 4 \cdot (0,25)^{7-x}$
Преобразуем выражение: $f(x) = 4 \cdot (0,25)^{7-x} = 4 \cdot ( (0,25)^{-1} )^{x-7} = 4 \cdot (\frac{1}{0,25})^{x-7} = 4 \cdot 4^{x-7}$ $f(x) = 4^1 \cdot 4^{x-7} = 4^{x-7+1} = 4^{x-6}$. Получили показательную функцию вида $y = a^{kx+b}$ с основанием $a=4$. Так как основание $a = 4 > 1$ и коэффициент при $x$ равен $k=1 > 0$, функция является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

в) $f(x) = 3^{1,5x-4} \cdot 4^{4x+1}$
Преобразуем функцию, приведя ее к виду $y=C \cdot a^x$: $f(x) = (3^{1,5x} \cdot 3^{-4}) \cdot (4^{4x} \cdot 4^1) = (\frac{1}{3^4} \cdot 4) \cdot (3^{1,5})^x \cdot (4^4)^x$ $f(x) = \frac{4}{81} \cdot (3^{3/2})^x \cdot (256)^x = \frac{4}{81} \cdot (\sqrt{27})^x \cdot 256^x$ $f(x) = \frac{4}{81} \cdot (\sqrt{27} \cdot 256)^x$. Это показательная функция, у которой коэффициент $C = \frac{4}{81} > 0$. Основание $a = \sqrt{27} \cdot 256$. Поскольку $\sqrt{27} > 1$ и $256 > 1$, их произведение $a > 1$. Следовательно, функция является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

г) $f(x) = 10^{2x-5} + x$
Функция является суммой двух функций: $g(x) = 10^{2x-5}$ и $h(x) = x$. Функция $g(x) = 10^{2x-5} = 10^{-5} \cdot (10^2)^x = \frac{1}{100000} \cdot 100^x$. Это показательная функция с основанием $a = 100 > 1$, поэтому она возрастающая. Функция $h(x) = x$ — линейная функция с угловым коэффициентом $k=1 > 0$, поэтому она также возрастающая. Сумма двух возрастающих функций есть функция возрастающая.
Ответ: возрастающая.

д) $f(x) = 3^x - (\frac{1}{2})^x$
Функция является разностью двух функций: $g(x) = 3^x$ и $h(x) = (\frac{1}{2})^x$. Функция $g(x) = 3^x$ является возрастающей, так как ее основание $3 > 1$. Функция $h(x) = (\frac{1}{2})^x$ является убывающей, так как ее основание $0 < \frac{1}{2} < 1$. Тогда функция $-h(x) = -(\frac{1}{2})^x$ является возрастающей. Таким образом, $f(x)$ можно представить как сумму двух возрастающих функций: $g(x)$ и $-h(x)$, а значит, она является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

е) $f(x) = 6^x + 4^x$
Функция является суммой двух функций: $g(x) = 6^x$ и $h(x) = 4^x$. Функция $g(x) = 6^x$ возрастающая, так как основание $6 > 1$. Функция $h(x) = 4^x$ возрастающая, так как основание $4 > 1$. Сумма двух возрастающих функций есть функция возрастающая.
Ответ: возрастающая.